اثبات اینکه G ساده نیست
فرض کنید G یک گروه متناهی و غیر دوری باشد که هر زیرگروه سره آن آبلی است.
می‌خواهیم نشان دهیم G ساده نیست؛ یعنی یک زیرگروه نرمالِ غیر بدیهی و سره دارد.
1) فرض خلف
فرض می‌کنیم G ساده باشد. چون G غیر دوری است، پس اگر ساده باشد، آبلی نیست.
بنابراین مرکز آن بدیهی است:
Z(G) = {1}
2) زیرگروه‌های ماکسیمال
هر زیرگروه سرهٔ ماکسیمالِ G طبق فرض آبلی است. اگر M1 و M2 دو زیرگروه ماکسیمال متمایز باشند،
آنگاه اشتراک آنها نمی‌تواند عنصر غیرواحد داشته باشد؛ زیرا در غیر این صورت آن اشتراک در مرکز G
قرار می‌گیرد و با سادگی G تناقض پیدا می‌کند. پس:
M1 ∩ M2 = {1}
به‌طور مشابه، برای هر g در G داریم:
M ∩ M^g = {1}
3) اجتماع مزدوج‌ها
حال مجموعهٔ عناصرِ خارج از اجتماع مزدوج‌های M را در نظر می‌گیریم:
G \ (⋃ g∈G M^g)
طبق قضیهٔ فروبنیوس، اگر اشتراک مزدوج‌ها فقط در عنصر واحد باشد، آنگاه
مجموعهٔ بالا همراه با 1 یک زیرگروه نرمال می‌سازد:
N = ( G \ (⋃ g∈G M^g) ) ∪ {1} ⊲ G
این زیرگروه N غیر بدیهی و سره است، پس G ساده نیست.
4) جمع‌بندی
بنابراین اگر G متناهی و غیر دوری باشد و هر زیرگروه سرهٔ آن آبلی باشد، آنگاه G نمی‌تواند ساده باشد.
برعکس، اگر G ساده نباشد، طبق تعریف زیرگروه نرمالِ غیر بدیهی و سره دارد.
نتیجه: G ساده نیست ⇔ G یک زیرگروه نرمال غیر بدیهی و سره دارد
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.