کا
نظریه گروهها: زیرگروههای ماکسیمال و اجتماع مزدوجها
این یادداشت دربارهی زیرگروههای ماکسیمال، مزدوجهای آنها، و شرطهایی است که برای اشتراک و اندازهی اجتماع مزدوجها بهدست آمدهاند.
۱) وجود عضو خارج از اجتماع مزدوجهای M
در ابتدای یادداشت فرض میشود عضوی مانند u در گروه G وجود دارد که در هیچیک از مزدوجهای زیرگروه M قرار نمیگیرد:
∃ u ∈ G − ⋃g ∈ G Mg
همچنین نوشته شده است که K یک زیرگروه ماکسیمال در G است و عضو u در آن قرار دارد:
u ∈ K , K is maximal in G
۲) روابط میان مزدوجها
در ادامه، رابطهای میان مزدوجهای K و M دیده میشود:
x−1Kx ≠ y−1My for all x, y ∈ G
سپس نتیجه گرفته شده که:
x−1ux ∉ y−1My
u ∉ x−1yMy−1x
این بخش به همارزی زیر میرسد:
∃ u ∈ G − ⋃g ∈ G Mg ⇔ u ∉ Mg for all g ∈ G
۳) تولید گروه و شرط اشتراک بدیهی
در قسمت پایینتر، گروه G با دو مزدوج از K و M ساخته شده است:
G = < x−1Kx , y−1My >
و برای اشتراک آنها شرط زیر نوشته شده است:
Kx ∩ My = 1 for all x, y ∈ G
در اینجا 1 همان زیرگروه بدیهی است.
۴) فرمولهای شمارشی
در پایان، اندازهی متمم اجتماع مزدوجهای K و M بهصورت زیر آمده است:
|G − ⋃g ∈ G Kg| = n/k − 1
|G − ⋃g ∈ G Mg| = n/m − 1
با تعریفهای k = |K|، m = |M| و n = |G|.
ربردهای این مبحث در نظریه گراف
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.