ریاضیات

سوال (نتیجه ۲)

چرا هر نقطه روی کره‌ی Sⁿ دارای یک همسایگی هم‌ارز با فضای اقلیدسی Rⁿ است؟

جواب

برای اثبات این موضوع، از نگاشت‌های تصویرسازی استریوگرافیک که در یادداشت‌های فایل 17841836965134981221958374236088.jpg آمده است، استفاده می‌کنیم:

۱. هر نقطه p روی کره را در نظر بگیرید. اگر p قطب شمال نباشد، در مجموعه‌ی باز U_N = Sⁿ \ {N} قرار دارد.

۲. نگاشت φ_N یک تناظر یک‌به‌یک، پیوسته و با معکوس پیوسته (هم‌ریختی) بین این همسایگی و کل فضای Rⁿ برقرار می‌کند.

۳. اگر نقطه p همان قطب شمال باشد، آنگاه قطب جنوب نیست و قطعاً در مجموعه‌ی باز U_S = Sⁿ \ {S} قرار می‌گیرد که آن هم با فضای اقلیدسی هم‌ارز است.

نتیجه: از آنجا که هر نقطه حداقل در یکی از این دو مجموعه‌ی باز قرار دارد، پس هر نقطه روی کره دارای همسایگی‌ای است که از نظر توپولوژیکی دقیقاً شبیه فضای اقلیدسی Rⁿ عمل می‌کند. این همان خاصیت "موضعی اقلیدسی" بودن منیفلدهاست.