ریاضیات

سوال

چرا کره‌ی Sⁿ یک فضای خوب‌رفتار است؟

جواب

کره‌ی n بعدی را به صورت زیر در نظر می‌گیریم:


Sⁿ = { x in Rⁿ⁺¹ : ||x|| = 1 }

روی Rⁿ⁺¹ فاصله‌ی اقلیدسی تعریف شده است:


d(x,y) = ||x - y||

اگر این فاصله را به Sⁿ محدود کنیم، یک متریک روی کره به دست می‌آید. پس Sⁿ یک فضای متریک است.

هر فضای متریک، هاسدورف و منظم است. بنابراین Sⁿ نیز هاسدورف و منظم است.

از طرف دیگر، Sⁿ در Rⁿ⁺¹ بسته و کراندار است. پس طبق قضیه‌ی هاینه-بورل، فشرده است.

بنابراین نتیجه می‌گیریم که Sⁿ یک فضای متریک، هاسدورف، منظم و فشرده است.