بررسی جابه‌جایی‌پذیری دو عملگر ماتریسی
سوال: فرض کنید دو ماتریس A و L به صورت زیر تعریف شده‌اند:
L = ħ [
τ
ελί
ελί
ελί
τ
ελί
ελί
ελί
τ
]
A = ħ [
0
√2
0
√2
0
√2
0
√2
0
]
با محاسبه حاصل‌ضرب‌های AL و LA، نشان دهید که این دو ماتریس جابه‌جا نمی‌شوند (یعنی [A, L] = AL - LA ≠ 0).
پاسخ:
برای بررسی جابه‌جایی‌پذیری، ابتدا حاصل‌ضرب AL را محاسبه می‌کنیم:
AL = ħ [ ... ] x ħ [ ... ]
AL = ħ² [
√2 ελί
√2 τ
√2 ελί
√2 τ + √2 ελί
√2 ελί + √2 ελί
√2 τ
√2 ελί
√2 ελί + √2 τ
√2 ελί
]
حال حاصل‌ضرب LA را محاسبه می‌کنیم:
LA = ħ [ ... ] x ħ [ ... ]
LA = ħ² [
√2 ελί
√2 τ + √2 ελί
√2 ελί
√2 τ
√2 ελί + √2 ελί
√2 τ
√2 ελί
√2 ελί + √2 τ
√2 ελί
]
با مقایسه درایه‌های ماتریس AL و LA، مشاهده می‌کنیم که درایه‌های متناظر برابر نیستند (به عنوان مثال، درایه (1,2) در AL برابر ħ²(√2 τ + √2 ελί) است، در حالی که در LA برابر √2 τ ħ² است).
AL - LA ≠ 0
نتیجه‌گیری: ماتریس‌های A و L جابه‌جا نمی‌شوند.
(تفسیر متن پایین تصویر: "خیر، چون درایه‌ی مثبت است" - این جمله ممکن است به دلیل مثبت بودن مقادیر خاصی از عملگرها و نحوه اثر آنها اشاره داشته باشد که منجر به عدم جابه‌جایی می‌شود.)
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.