ریاضیات

مسئله پراکندگی کامپتون (Compton Scattering)

صورت مسئله:

انرژی یک فوتون فرودی برابر با

E = 12 keV است.

این فوتون تحت اثر پراکندگی کامپتون با زاویه

θ = 60°

پراکنده می‌شود. موارد زیر را محاسبه کنید:

الف) انرژی فوتون پراکنده شده (E')

ب) انرژی جنبشی الکترون پس‌زده شده (Ke)

حل تشریحی:

فرمول انتقال کامپتون برای طول موج:

Δλ = λ' - λ = λc (1 - cosθ)

که در آن λc طول موج کامپتون الکترون بوده و مقدار آن برابر است با:

λc = h / (me c) ≈ 0.00243 nm = 2.43 pm

رابطه مستقیم برحسب انرژی فوتون (E):

فرمول کامپتون را می‌توان مستقیماً برحسب انرژی فوتون فرودی (E) و پراکنده شده ('E) به صورت زیر نوشت:

1/E' - 1/E = (1 - cosθ) / (me c2)

انرژی سکون الکترون me c2 ≈ 511 keV است. با جایگذاری مقادیر داریم:

cos(60°) = 0.5 ⇒ 1 - cos(60°) = 0.5

1/E' - 1/12 = 0.5 / 511 ≈ 0.000978 keV-1

1/E' = 1/12 + 0.000978 ≈ 0.08333 + 0.000978 = 0.08431 keV-1

E' = 1 / 0.08431 ≈ 11.86 keV

الف) انرژی فوتون پراکنده شده:

E' ≈ 11.86 keV (یا 11860 eV)

ب) انرژی جنبشی الکترون پس‌زده شده (Ke):

طبق قانون پایستگی انرژی، انرژی جنبشی الکترون برابر است با اختلاف انرژی فوتون فرودی و فوتون پراکنده شده:

Ke = E - E' = 12 keV - 11.86 keV = 0.14 keV

Ke ≈ 0.14 keV (یا 140 eV)

بسط عملگرهای کوانتومی (پایین صفحه)

رابطه ریاضی پایین برگه مربوط به حاصل‌ضرب دو عملگر هرمیتی (مثل هامیلتونی آزاد H0 و پتانسیل V) است. با توجه به غیرتبدیلی بودن عملگرها در مکانیک کوانتومی، ترتیب ضرب اهمیت دارد:

(H0 - V)(H0 - V) = H0(H0 - V) - V(H0 - V)

= H02 - H0V - VH0 + V2

*توجه: در دست‌نویس تصویر، علامت جمله آخر به صورت منفی نوشته شده است، اما از ضرب ریاضی صحیح دو مقدار منفی، علامت مثبت حاصل می‌شود.