ریاضیات

سوال

نشان دهید اگر تابع موج آزمون
|ψ〉
به اندازه مرتبه اول
(ε)
با تابع موج اصلی حالت پایه تفاوت داشته باشد،
انرژی محاسبه‌شده تنها به اندازه مرتبه دوم
با انرژی واقعی
E0
تفاوت خواهد داشت.

جواب

فرض کنید تابع موج دقیق حالت پایه |ψ0〉 و انرژی آن
E0
باشد، یعنی:

H|ψ0〉 = E0|ψ0〉

حال تابع موج آزمون را به صورت زیر بنویسید:

|ψ〉 = |ψ0〉 + ε|φ〉

که در آن ε یک پارامتر کوچک است و
|φ〉
با حالت پایه متعامد در نظر گرفته می‌شود.

انرژی واریاسیونی از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

E(ε) = 〈ψ|H|ψ〉 / 〈ψ|ψ〉

با بسط صورت کسر داریم:

〈ψ|H|ψ〉 = 〈ψ0|H|ψ0〉 + ε〈φ|H|ψ0〉 + ε〈ψ0|H|φ〉 + ε2〈φ|H|φ〉

چون
H|ψ0〉 = E0|ψ0〉
و همچنین
〈φ|ψ0〉 = 0،
ترم‌های مرتبه اول حذف می‌شوند. پس:

〈ψ|H|ψ〉 = E0 + O(ε2)

از طرف دیگر:

〈ψ|ψ〉 = 1 + O(ε2)

بنابراین:

E(ε) = E0 + O(ε2)

پس نتیجه می‌گیریم که اگر خطای تابع موج آزمون در مرتبه اول باشد،
خطای انرژی فقط در مرتبه دوم ظاهر می‌شود.

نتیجه

انرژی محاسبه‌شده نسبت به انرژی دقیق حالت پایه، فقط به اندازهٔ مرتبهٔ دوم
(ε2)
خطا دارد.