جزئیات و نکات تکمیلی حل معادله درجه چهارم (صفحه ۲۸)
۱) محاسبات پارامترهای کمکی و ریشه اول
اگر ریشه معادله درجه سوم کمکی (معادله شماره ۷ کتاب) را برابر با t1 در نظر بگیریم، مقادیر m1 و n1 به صورت زیر محاسبه می‌شوند:
m1 = √(at1 + b2 - ac)
n1 = (2bt1 + bc - ad) / m1
با جایگذاری این مقادیر، معادله اصلی یعنی u = 0 را می‌توان به شکل تفاضل دو مربع زیر بازنویسی کرد:
(ax2 + 2bx + c + 2t1)2 - (2m1x + n1)2 = 0
بنابراین، ریشه‌های این معادله درجه چهارم با حل دو معادله درجه دوم زیر که با علامت مثبت و منفی تفکیک می‌شوند، به دست می‌آیند:
ax2 + 2bx + c + 2t1 = ±(2m1x + n1)
۲) گام‌های محاسباتی مثال عددی
هدف، حل معادله درجه چهارم زیر است:
x4 + 3x3 - x2 - 2 = 0
برای حل، فرض می‌کنیم عبارت فوق به صورت تفاضل دو مربع زیر تجزیه شود:
u = (x2 + px + s)2 - (mx + n)2
با بسط دادن عبارت فوق و مساوی قرار دادن ضرایب آن با معادله اصلی، دستگاه معادلات زیر برای ضرایب به دست می‌آید:
p = 3/2
m2 = 2s + 5/4
mn = 3s/2
n2 = s2 + 2
با حذف پارامترهای m و n از روابط بالا، به معادله درجه سوم زیر بر حسب s می‌رسیم:
4s3 - 2s2 + 8s + 5 = 0
با بررسی ریشه‌ها، مشاهده می‌شود که این معادله به ازای مقدار زیر برقرار است:
s = -1/2
با جایگذاری مقدار s، مقادیر عددی سایر متغیرها به دست می‌آید:
m2 = -1 + 5/4 = 1/4 , mn = -3/4
لذا:
m = 1/2 , n = -3/2
با قرار دادن این مقادیر در رابطه اصلی، چندجمله‌ای به صورت ضرب دو عامل درجه دوم تجزیه می‌شود:
u = [x2 + (p + m)x + s + n] [x2 + (p - m)x + s - n]
u = (x2 + 2x - 2) (x2 + x + 1)
۳) محاسبه نهایی ریشه‌ها
با صفر قرار دادن تک‌تک عامل‌های درجه دوم، ریشه‌های نهایی معادله به دست می‌آیند:
از معادله اول یعنی x2 + 2x - 2 = 0 ریشه‌های حقیقی زیر حاصل می‌شود:
x = -1 ± √3
از معادله دوم یعنی x2 + x + 1 = 0 ریشه‌های مختلط معروف به زیر به دست می‌آیند:
w , w2
بنابراین ریشه‌های نهایی معادله عبارتند از:
w , w2 , -1 ± √3
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.