مثال کاربردی: تجزیه‌ی چندمتغیره با استفاده از صفر شدن عبارت
در این روش، بررسی می‌کنیم که عبارت جبری در چه حالتی صفر می‌شود.
اگر با قرار دادن یک رابطه بین متغیرها، مقدار عبارت صفر شود،
نتیجه می‌گیریم که عامل متناظر در تجزیه وجود دارد.
مثال
عبارت زیر را تجزیه کنید:
A = x(y-z) + y(z-x) + z(x-y)
مرحله‌ی اول: بررسی خود عبارت
ابتدا پرانتزها را باز می‌کنیم:
A = xy - xz + yz - xy + zx - zy
حالا جمله‌های هم‌نوع را ساده می‌کنیم:
- xy - xy = 0
- -xz + zx = 0
- yz - zy = 0
پس نتیجه می‌شود:
A = 0
یعنی این عبارت همواره صفر است. پس این مثال بیشتر نشان می‌دهد که گاهی
ساختار عبارت به گونه‌ای است که تمام جمله‌ها یکدیگر را خنثی می‌کنند.
یک مثال بهتر برای تجزیه با صفر شدن عبارت
حالا یک مثال مناسب‌تر می‌زنیم:
B = x^2 - y^2 + xz - yz
مرحله‌ی دوم: بررسی صفر شدن عبارت
اگر در این عبارت قرار دهیم:
x = y
آنگاه داریم:
B = y^2 - y^2 + yz - yz = 0
چون با قرار دادن x = y مقدار عبارت صفر شد، نتیجه می‌گیریم که:
(x - y)
یکی از عامل‌های عبارت است.
مرحله‌ی سوم: پیدا کردن عامل دیگر
حالا سعی می‌کنیم عامل مشترک بگیریم:
B = (x^2 - y^2) + (xz - yz)
می‌دانیم:
x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)
و همچنین:
xz - yz = z(x-y)
بنابراین:
B = (x-y)(x+y) + z(x-y)
اکنون عامل مشترک (x-y) را بیرون می‌کشیم:
B = (x-y)(x+y+z)
جواب نهایی
پس تجزیه‌ی عبارت برابر است با:
x^2 - y^2 + xz - yz = (x-y)(x+y+z)
نکته‌ی آموزشی
در این مثال، با بررسی این‌که عبارت در چه حالتی صفر می‌شود، فهمیدیم که
(x-y) باید یکی از عامل‌ها باشد.
این همان ایده‌ی اصلی تجزیه با کمک قضیه‌ها است:
اگر با قرار دادن یک رابطه، عبارت صفر شود، آن رابطه می‌تواند ما را به یکی از عامل‌ها برساند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.