یک مثال کامل از تجزیه و حل معادله درجه سوم
در این مثال، ابتدا یک عبارت متقارن را تجزیه میکنیم و سپس یک معادله درجه سوم را با روش تغییر متغیر حل مینماییم.
مثال ۱: تجزیه یک عبارت چرخهای
عبارت زیر را تجزیه کنید:
A = x3(y - z) + y3(z - x) + z3(x - y)
این عبارت با جابهجایی چرخهایِ متغیرها تغییر نمیکند و از نوع عبارتهای متقارن-چرخهای است.
برای تجزیه، حدس میزنیم که عوامل زیر در آن ظاهر شوند:
(x - y), (y - z), (z - x)
همچنین چون اگر x + y + z = 0 باشد، این عبارت صفر میشود، عامل
(x + y + z)
نیز در تجزیه ظاهر میشود. در نتیجه، تجزیهی کامل عبارت به صورت زیر است:
A = -(x + y + z)(x - y)(y - z)(z - x)
پس نتیجهی نهایی تجزیه این است که:
x3(y - z) + y3(z - x) + z3(x - y)
= -(x + y + z)(x - y)(y - z)(z - x)
مثال ۲: حل یک معادله درجه سوم با تغییر متغیر
معادله زیر را در نظر بگیرید:
x3 + 6x2 + 9x + 2 = 0
این معادله را به فرم کلی
ax3 + 3bx2 + 3cx + d = 0
مینویسیم. در اینجا داریم:
a = 1
3b = 6 → b = 2
3c = 9 → c = 3
d = 2
حالا تغییر متغیر مناسب را انتخاب میکنیم:
y = x + b/a = x + 2
بنابراین:
x = y - 2
این مقدار را در معادله جایگذاری میکنیم:
(y - 2)3 + 6(y - 2)2 + 9(y - 2) + 2 = 0
بسط میدهیم:
(y - 2)3 = y3 - 6y2 + 12y - 8
6(y - 2)2 = 6(y2 - 4y + 4) = 6y2 - 24y + 24
حالا همه را جمع میکنیم:
y3 - 6y2 + 12y - 8 + 6y2 - 24y + 24 + 9y - 18 + 2 = 0
جملههای y2 حذف میشوند و داریم:
y3 - 3y - 0 = 0
یعنی:
y3 - 3y = 0
حالا عامل مشترک میگیریم:
y(y2 - 3) = 0
پس ریشههای y عبارتاند از:
y = 0
y = ± √3
اکنون به متغیر اصلی برمیگردیم. چون x = y - 2، داریم:
اگر y = 0 → x = -2
اگر y = √3 → x = -2 + √3
اگر y = -√3 → x = -2 - √3
پاسخ نهایی
ریشههای معادلهی
x3 + 6x2 + 9x + 2 = 0
برابرند با:
x = -2
x = -2 + √3
x = -2 - √3
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.