یک مثال دیگر از روش تغییر متغیر در معادله درجه سوم
در این مثال، یک معادله درجه سوم را با روش تغییر متغیر حل می‌کنیم تا جمله‌ی توان دوم حذف شود و معادله به شکل ساده‌تری درآید.
مثال
معادله زیر را حل کنید:
x3 + 3x2 - 4 = 0
این معادله را می‌توان به صورت کلی
ax3 + 3bx2 + 3cx + d = 0
در نظر گرفت. حالا ضرایب را مشخص می‌کنیم:
a = 1
3b = 3 → b = 1
3c = 0 → c = 0
d = -4
طبق روش تغییر متغیر، می‌گذاریم:
y = x + b/a = x + 1
پس داریم:
x = y - 1
حالا این مقدار را در معادله اصلی جایگذاری می‌کنیم:
(y - 1)3 + 3(y - 1)2 - 4 = 0
بسط عبارت‌ها:
(y - 1)3 = y3 - 3y2 + 3y - 1
3(y - 1)2 = 3(y2 - 2y + 1) = 3y2 - 6y + 3
اکنون همه را با هم جمع می‌کنیم:
y3 - 3y2 + 3y - 1 + 3y2 - 6y + 3 - 4 = 0
جمله‌های y2 حذف می‌شوند، پس داریم:
y3 - 3y - 2 = 0
حالا این معادله را تجزیه می‌کنیم. اگر y = 2 را امتحان کنیم:
23 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0
پس (y - 2) یک عامل است. بنابراین:
y3 - 3y - 2 = (y - 2)(y2 + 2y + 1)
و چون:
y2 + 2y + 1 = (y + 1)2
پس تجزیه‌ی کامل معادله چنین است:
(y - 2)(y + 1)2 = 0
ریشه‌های y:
y = 2
y = -1
بازگشت به متغیر x:
چون داشتیم:
x = y - 1
پس:
اگر y = 2 → x = 1
اگر y = -1 → x = -2
پاسخ نهایی
ریشه‌های معادله‌ی
x3 + 3x2 - 4 = 0
برابرند با:
x = 1
x = -2
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.