مثال تکمیلی: فراتر از تصویر (توان ۵)
اگر روشی که در تصویر برای توان ۳ یاد گرفتیم را تعمیم دهیم، برای توان ۵ به این عبارت میرسیم که تجزیه آن با روشهای سنتی غیرممکن به نظر میرسد:
A = (x+y+z)5 - x5 - y5 - z5
تحلیل با روش ریشهیابی (توسعه یافته):
دقیقاً همان منطقِ تصویرِ شما حکم میکند:
اگر x = -y قرار دهیم، عبارت صفر میشود. بنابراین (x+y)، (y+z) و (z+x) حتماً عاملهای این عبارت هستند.
چالش اصلی:
عبارت ما درجه ۵ است و ما ۳ عامل درجه یک ((x+y)(y+z)(z+x)) داریم. پس حاصلضرب اینها درجه ۳ است. یعنی برای رسیدن به درجه ۵، باید یک عبارت درجه ۲ متقارن دیگر هم داشته باشیم:
(x+y+z)5 - x5 - y5 - z5 = k(x+y)(y+z)(z+x) × (x2+y2+z2+xy+yz+zx)
گام نهایی (محاسبه ضریب k):
با جایگذاری مقادیر ساده (مثلاً x=1, y=1, z=0) ضریب k به دست میآید:
(2)5 - 15 - 15 - 0 = k(2)(1)(1) × (1+1+0+1+0+0)
32 - 2 = k(2) × (3)
30 = 6k ⇒ k = 5
نتیجه شگفتانگیز:
(x+y+z)5 - x5 - y5 - z5 = 5(x+y)(y+z)(z+x)(x2+y2+z2+xy+yz+zx)
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.