ریاضیات

روش گسترش و تجزیه عبارت دوری

برای گسترش بحث، ابتدا روش تجزیه عبارت‌های دوری را بررسی می‌کنیم و سپس
روش تغییر متغیر را برای مثالِ تصویر تکمیل می‌کنیم.

۱) تعمیق روش تجزیه عبارت‌های دوری

این روش برای عباراتی که با جابه‌جایی چرخشی متغیرها مانند
x → y → z → x تغییر نمی‌کنند، بسیار مفید است.

گام‌های اصلی:

1. بررسی صفرها: اگر با قرار دادن x = y عبارت صفر شد، آنگاه (x-y) یک عامل است.


2. بررسی درجه: اگر درجه کل عبارت n باشد و (x-y)(y-z)(z-x) را عامل بگیریم، عامل باقی‌مانده باید چندجمله‌ای متقارن از درجه n-3 باشد.


3. تعیین ثابت k: با جایگذاری اعداد ساده مانند 0, 1, 2 مقدار k را پیدا می‌کنیم.

۲) گسترش روش تغییر متغیر

مثال تصویر:

A = (x+y+z)³ - x³ - y³ - z³

این عبارت متقارن است. برای تجزیه آن می‌توان از روش صفرگذاری و تشخیص عامل‌ها استفاده کرد.

بررسی عامل‌ها:

اگر x = -y قرار دهیم، آنگاه عبارت صفر می‌شود؛ پس
(x+y) یک عامل است.

به دلیل تقارن کامل، به همین ترتیب (y+z) و
(z+x) نیز عامل هستند.

پس می‌توان نوشت:

A = k (x+y)(y+z)(z+x)

یافتن ثابت k:

اگر x = 1، y = 1 و z = 1 بگذاریم:

(1+1+1)³ - 1³ - 1³ - 1³ = k(1+1)(1+1)(1+1)

27 - 3 = 8k

24 = 8k

k = 3

نتیجه نهایی:

(x+y+z)³ - x³ - y³ - z³ = 3(x+y)(y+z)(z+x)

۳) تفاوت عبارت دوری و متقارن

• عبارت دوری: با چرخش متغیرها تغییر نمی‌کند.


• عبارت متقارن: با جابه‌جایی هر دو متغیر نیز تغییر نمی‌کند.

نکته: هر عبارت متقارن، دوری هم هست؛ اما هر عبارت دوری لزوماً متقارن نیست.

۴) جمع‌بندی

در تجزیه عبارت‌های دوری، کافی است با صفرگذاری مناسب عامل‌ها را تشخیص دهیم،
سپس با توجه به درجه و تقارن، شکل نهایی را حدس بزنیم و با یک جایگذاری ساده
ثابت مجهول را به دست آوریم.