ریاضیات

گام ششم: جذب، دفع و گسیل

در طبیعت، هیچ سامانه‌ای کاملاً خاموش نیست. ماده پیوسته انرژی می‌گیرد، انرژی از دست می‌دهد، و با محیط خود وارد تبادل می‌شود.

«جذب» یعنی بلعیدن نور، انرژی یا ذره؛

«گسیل» یعنی رها کردن آن در قالب فوتون، موج یا ذره؛

و «دفع» یعنی آن نیروی پنهانی که مانع فروریزش کامل، نزدیکی بی‌حد، یا اختلاط ساده اجزا می‌شود.

در این گام، این سه مفهوم را در زبان الکترومغناطیس، کوانتوم و اخترفیزیک بررسی می‌کنیم.

۱. فرمول‌های بنیادی

معادله تعادل جذب و گسیل در انتقال تابش:

وقتی پرتوی نور از میان ماده عبور می‌کند، هم بخشی از آن جذب می‌شود و هم ممکن است خود ماده تابش تازه‌ای گسیل کند. توصیف این فرایند با معادله انتقال تابش انجام می‌شود:

dI_nu / ds = - alpha_nu * I_nu + j_nu

که در آن:

• I_nu شدت ویژه تابش است.
• alpha_nu ضریب جذب محیط است.
• j_nu ضریب گسیل محیط است.
• s مسیر حرکت تابش است.

اگر j_nu = 0 باشد، تنها جذب داریم؛

و اگر جذب ناچیز باشد، گسیل غالب می‌شود.

نیروی دافعه کولنی:

در الکترودینامیک، دو بار همنام یکدیگر را دفع می‌کنند. اندازه این نیرو از قانون کولن به دست می‌آید:

F = (1 / (4 * pi * epsilon_0)) * (q_1 * q_2 / r^2)

اگر علامت q_1 * q_2 مثبت باشد، نیرو دافعه است؛

و اگر منفی باشد، جاذبه بین بارها برقرار می‌شود.

گسیل و جذب کوانتومی میان دو تراز:

در مدل ساده دو ترازی، اتم تنها وقتی می‌تواند فوتونی را جذب کند که انرژی آن دقیقاً با اختلاف دو تراز منطبق باشد:

h * nu = E_2 - E_1

در این حالت:

• جذب: اتم از E_1 به E_2 می‌رود.
• گسیل خودبه‌خودی: اتم از E_2 به E_1 سقوط می‌کند و فوتون آزاد می‌شود.
• گسیل القایی: حضور یک فوتون مناسب، اتم برانگیخته را وادار به گسیل فوتونی هم‌فاز می‌کند؛ اساس کار لیزر.

۲. چالش‌های نظری و فیزیکی

چالش: چرا ماده در خود فرو نمی‌ریزد؟

اگر فقط جاذبه الکتریکی میان الکترون و هسته وجود داشت، شاید انتظار داشتیم الکترون روی هسته سقوط کند و ساختار اتمی نابود شود. اما این اتفاق نمی‌افتد.

در تصویر کوانتومی، الکترون ذره‌ای نقطه‌ای با مدار کلاسیک دقیق نیست، بلکه با تابع موج توصیف می‌شود.

همچنین:

• اصل عدم قطعیت هایزنبرگ اجازه نمی‌دهد هم مکان و هم تکانه الکترون همزمان کاملاً معلوم باشند.
• اگر الکترون را بیش از حد در نزدیکی هسته محبوس کنیم، انرژی جنبشی کوانتومی‌اش به شدت افزایش می‌یابد.
• در سامانه‌های چندالکترونی، اصل طرد پائولی نوعی «دفع کوانتومی مؤثر» ایجاد می‌کند که مانع فروپاشی ماده می‌شود.

پس «دفع» همیشه یک نیروی کلاسیکی ساده نیست؛ گاهی نتیجه هندسه فضای حالت و قواعد آماری کوانتومی است.

چالش اخترفیزیکی: چرا ستاره‌ها فقط جذب نمی‌کنند؟

اگر ماده ستاره فقط نور را جذب می‌کرد، ستاره باید تاریک می‌شد. اما ستاره‌ها در تعادل گرمایی و تابشی قرار دارند:

درون ستاره انرژی از واکنش‌های هسته‌ای تولید می‌شود، این انرژی بارها جذب و بازگسیل می‌گردد و سرانجام از فوتوسفر به فضا راه می‌یابد.

پس ظاهر یک ستاره حاصل مسابقه‌ای دائمی میان جذب، پراکندگی، و گسیل است.

۳. مسئله خلاقانه: عبور تابش از یک لایه و نسبت جذب به گسیل

طرح مسئله:

پرتویی با شدت اولیه I_nu(0) = 10 واحد وارد لایه‌ای از گاز می‌شود.

فرض کنید ضریب جذب ثابت و برابر alpha_nu = 0.4 بر واحد طول، و ضریب گسیل ثابت و برابر j_nu = 1.2 بر واحد طول باشد.

ضخامت لایه L = 5 است.

• الف) شدت خروجی I_nu(L) را محاسبه کنید.
• ب) نشان دهید که اگر شدت اولیه بسیار کوچک باشد، میدان خروجی به چه مقداری میل می‌کند.
• ج) تفسیر فیزیکی این حد را بیان کنید.

حل مسئله

برای ضرایب ثابت، حل معادله انتقال تابش چنین است:

I_nu(L) = I_nu(0) * exp(-alpha_nu * L) + (j_nu / alpha_nu) * [1 - exp(-alpha_nu * L)]

اکنون مقادیر را جایگذاری می‌کنیم:

alpha_nu * L = 0.4 * 5 = 2
exp(-2) approximately 0.1353
j_nu / alpha_nu = 1.2 / 0.4 = 3

پس:

I_nu(L) = 10 * 0.1353 + 3 * (1 - 0.1353)
       = 1.353 + 3 * 0.8647
       = 1.353 + 2.5941
       = 3.9471

بنابراین شدت خروجی تقریباً برابر است با:

I_nu(L) approximately 3.95

بخش ب:

اگر شدت اولیه بسیار کوچک باشد، جمله اول ناچیز می‌شود و داریم:

I_nu(L) -> (j_nu / alpha_nu) * [1 - exp(-alpha_nu * L)]

اگر لایه بسیار ضخیم باشد، یعنی alpha_nu * L >> 1، آن‌گاه:

I_nu(L) -> j_nu / alpha_nu = 3

بخش ج:

این کمیت همان «تابع چشمه» است:

S_nu = j_nu / alpha_nu

تفسیر فیزیکی آن این است که در یک محیط ضخیم، تابش خروجی دیگر حافظه‌ای از شدت ورودی اولیه ندارد و ویژگی‌های خود محیط تعیین‌کننده نور خروجی می‌شوند. یعنی لایه گازی، شخصیت تابشی مستقل خود را به نور تحمیل می‌کند.

۴. جمع‌بندی مفهومی

جهان فقط از کشش‌ها ساخته نشده است؛ از پس هر جذب، امکان گسیلی نهفته است، و در دل هر نزدیکی، نوعی مقاومت یا دفع حضور دارد.

اتم‌ها با جذب برانگیخته می‌شوند، با گسیل سخن می‌گویند، و با دافعه یا قواعد کوانتومی از فروپاشی می‌گریزند.

نور در عبور از ماده، بخشی از حافظه خود را از دست می‌دهد و بخشی از منش محیط را می‌پذیرد.

شاید به همین دلیل است که هر پرتو، پس از گذر از جهان، دیگر همان پرتو نخستین نیست.