--------------------------------------------------
81) تعریف و توسعه رسته های ویژه برای سامانه های فوتونی
--------------------------------------------------
تعریف:
در این بخش هدف آن است که برای سامانه های فوتونی، رسته هایی تعریف شوند که نه فقط انتقال حالت، بلکه ساختارهای فیزیکی خاص مانند قطبش، مد، تلفات، آشکارسازی، و برهم کنش با محیط را نیز در خود جای دهند. ایده اصلی آن است که یک رسته عمومی Hilb یا Fock برای توصیف کامل بسیاری از سامانه های فوتونی کافی نیست، زیرا در عمل، ویژگی های فیزیکی و مهندسی سامانه باید در سطح اشیا و ریخت ها ثبت شوند.
اشیا:
اشیا می توانند سامانه های فوتونی مشخص باشند، مانند:
- یک مد نوری منفرد
- یک مجموعه مد در موجبر
- یک کاواک نوری
- یک حالت چندفوتونی
- یک زیرسامانه شامل قطبش و بسامد و مسیر
ریخت ها:
ریخت ها تبدیل های فیزیکی مجاز میان این سامانه ها هستند، مانند:
- انتشار در محیط
- پراکندگی
- تضعیف
- کوپلینگ بین مدها
- اندازه گیری
- آشکارسازی
- اعمال اپتیکی خطی و غیرخطی
ترکیب:
اگر f: A -> B و g: B -> C دو فرایند فوتونی باشند، ترکیب g o f به معنای اجرای پیاپی دو فرایند فیزیکی است.
همانی:
برای هر سامانه فوتونی A، همانی Id_A تحول بی اثر یا propagation ایده آل بدون تغییر اطلاعات فیزیکی است.
ساختار اضافی:
این رسته ها معمولا تک واری، dagger، enriched، یا traced هستند. انتخاب ساختار وابسته به آن است که آیا بخواهیم موازی سازی، وارون هرمیتی، حلقه های بازخوردی یا اطلاعات احتمالاتی را مدل کنیم.
مثال:
رسته ای را در نظر بگیرید که اشیای آن مدهای نوری قطبیده و ریخت های آن ماتریس های پراکندگی قابل تحقق در اپتیک خطی باشند.
مسئله باز:
چگونه می توان رسته ای تعریف کرد که همزمان:
- ساختار مدی
- اتلاف
- آشکارسازی
- و نویز کوانتومی
را به شکل واحد و فشرده توصیف کند؟
--------------------------------------------------
82) طبقه بندی رسته ای حالت های فوتون
--------------------------------------------------
تعریف:
هدف، دسته بندی حالت های فوتونی بر مبنای ویژگی های ساختاری آن ها در زبان رسته ها است. به جای آنکه فقط بگوییم یک حالت، برداری در فضای هیلبرت است، می خواهیم بدانیم این حالت در چه رده ای از ساختارهای فوتونی قرار می گیرد.
اشیا:
- حالت خلأ
- حالت تک فوتونی
- حالت چندفوتونی
- حالت همدوس
- حالت فشرده
- حالت درهم تنیده
- حالت گرمایی
- حالت مخلوط
ریخت ها:
- تبدیل یکانی
- کانال اتلافی
- فرایند اندازه گیری
- آماده سازی حالت
- نویز افزوده
- فرایند ردگیری جزئی
ایده طبقه بندی:
طبقه بندی رسته ای می تواند بر اساس موارد زیر انجام شود:
- تعداد فوتون
- خلوص یا آمیختگی
- کلاسیکی یا غیرکلاسیکی بودن
- درجه همدوسی
- ساختار درهم تنیدگی
- تقارن بوزونی
همانی:
همانی یعنی حفظ کامل حالت بدون تغییر.
مثال:
می توان زیررسته ای از حالت های گاوسی تعریف کرد که ریخت های آن کانال های گاوسی باشند. این زیررسته در اپتیک کوانتومی پیوسته بسیار مهم است.
مسئله باز:
آیا می توان یک ناوردا یا invariant رسته ای تعریف کرد که درجه غیرکلاسیکی بودن یک حالت فوتونی را به صورت ساختاری مشخص کند؟
--------------------------------------------------
83) ساخت تابع ريخت های جديد برای اپتيک کوانتومی
--------------------------------------------------
تعریف:
در اینجا هدف تعریف functor هایی است که میان رسته های مختلف فیزیکی و ریاضی پل بزنند. در اپتیک کوانتومی، تابع ریخت ها می توانند انتقال میان توصیف های متفاوت از یک سامانه را ممکن سازند.
نمونه ها:
- از رسته فرایندهای فیزیکی به رسته عملگرهای خطی
- از رسته مدارهای فوتونی به رسته ماتریس های پراکندگی
- از رسته حالت ها به رسته توزیع های فازفضا
- از رسته کانال های کوانتومی به رسته نگاشت های کاملا مثبت
اشیا:
بسته به مبدأ و مقصد تابع ریخت، اشیا می توانند حالت ها، کانال ها، مدارها، یا عملگرها باشند.
ریخت ها:
ریخت های هر رسته طبق ساختار همان رسته تعریف می شوند، و functor باید ترکیب و همانی را حفظ کند.
مثال:
یک functor از رسته OpticalCircuit به Mat(C) که هر مدار خطی را به ماتریس انتقال متناظر آن می فرستد.
اهمیت:
این ساختار سبب می شود بین مدل های آزمایشگاهی و مدل های انتزاعی ریاضی ارتباط منظم برقرار گردد.
مسئله باز:
چه functor هایی می توانند ویژگی های کوانتومی مانند درهم تنیدگی یا coherence را به صورت faithful حفظ کنند؟
--------------------------------------------------
84) مدل سازی رسته ای قطبش فوتون
--------------------------------------------------
تعریف:
قطبش یکی از مهم ترین درجات آزادی فوتون است. توصیف رسته ای قطبش باید بتواند حالت های افقی، عمودی، دایروی، بیضوی و تبدیل های میان آن ها را ثبت کند.
اشیا:
- فضاهای قطبشی دو بعدی
- حالت های قطبش خالص
- حالت های قطبش مخلوط
- سامانه های چندفوتونی با قطبش
ریخت ها:
- صفحات موج
- قطبنده ها
- چرخش دهنده های فاز
- birefringent elements
- کانال های نویزی قطبشی
ترکیب:
ترکیب یعنی عبور متوالی نور از چند عنصر قطبشی.
ساختار:
این رسته معمولا با فضاهای دوبعدی هیلبرتی و عملگرهای SU(2) یا CPTP maps مرتبط است.
مثال:
Quarter-wave plate و half-wave plate را می توان به عنوان ریخت هایی میان اشیای قطبشی مدل کرد.
مسئله باز:
چگونه اثر همزمان قطبش، اتلاف، و کوپل شدن به مدهای فضایی را در یک رسته واحد مدل کنیم؟
--------------------------------------------------
85) توصیف رسته ای همدوسی نور
--------------------------------------------------
تعریف:
همدوسی نور بیانگر وجود رابطه فازی منظم در زمان یا فضا است. در زبان رسته ها، همدوسی می تواند به عنوان ساختاری روی اشیا و ریخت ها ظاهر شود که امکان تداخل را تعیین می کند.
اشیا:
- حالت های با همدوسی مرتبه اول
- حالت های با همدوسی مرتبه دوم
- میدان های جزئا همدوس
- حالت های coherent state
ریخت ها:
- انتشار
- فیلتر کردن
- تضعیف
- برهم نهی
- تداخل
- عملگرهای نابودگر و مولد مرتبط با میدان
ایده:
می توان رسته ای تعریف کرد که اشیا در آن کلاس های همدوسی باشند و ریخت ها تبدیل هایی باشند که توابع همبستگی را حفظ یا تغییر می دهند.
مثال:
عبور نور لیزر از یک محیط پاشنده که همدوسی زمانی را کاهش می دهد، یک ریخت در چنین رسته ای است.
مسئله باز:
آیا همدوسی را می توان به صورت یک خاصیت functorial از حالت ها به توابع همبستگی تعریف کرد؟
--------------------------------------------------
86) توصیف رسته ای ناهمدوسی
--------------------------------------------------
تعریف:
ناهمدوسی یا decoherence فرایندی است که در آن روابط فازی میان مؤلفه های یک حالت کوانتومی از بین می رود. در سامانه های فوتونی این پدیده در اثر برهم کنش با محیط، نوسانات فاز، اتلاف و اندازه گیری ناقص رخ می دهد.
اشیا:
- حالت های کوانتومی نور
- سامانه های باز فوتونی
- زیرسامانه های در معرض محیط
ریخت ها:
- dephasing channels
- amplitude damping
- photon loss
- phase randomization
- محیط موثر
ساختار:
این رسته معمولا با کانال های کوانتومی و نگاشت های کاملا مثبت و رد-حافظ مرتبط است.
مثال:
کانال dephasing روی کیوبیت قطبشی یک فوتون.
مسئله باز:
چگونه می توان نوع های متفاوت ناهمدوسی را در یک طبقه بندی رسته ای واحد به هم مرتبط کرد؟
--------------------------------------------------
87) مدل سازی رسته ای نویز کوانتومی
--------------------------------------------------
تعریف:
نویز کوانتومی در فوتونیک شامل نوسانات خلأ، اتلاف، آشکارسازی ناقص، dark count، jitter، thermal noise و دیگر اختلالات است. هدف، ساخت رسته ای است که این پدیده ها را به صورت ساختاری مدل کند.
اشیا:
- سامانه های فوتونی ایده آل
- سامانه های فوتونی نویزی
- حالت های ورودی/خروجی
ریخت ها:
- کانال های نویزی
- نگاشت های تصادفی
- مدل های آشکارسازی ناقص
- محیط های موثر
مثال:
رسته ای که در آن هر ریخت یک کانال noisy bosonic Gaussian باشد.
کاربرد:
- تحلیل ظرفیت کانال
- طراحی سامانه مقاوم
- تصحیح خطا
- شبیه سازی آزمایش
مسئله باز:
آیا می توان برای نویزهای فوتونی یک طبقه بندی جهانی مبتنی بر هم ارزی رسته ای ارائه کرد؟
--------------------------------------------------
88) رسته های مناسب برای فوتون منفرد
--------------------------------------------------
تعریف:
فوتون منفرد از بنیادی ترین اشیای فوتونیک کوانتومی است. برای توصیف آن نیاز به رسته ای داریم که درجه آزادی های مسیر، قطبش، زمان، فرکانس و احتمال آشکارسازی را یکجا ثبت کند.
اشیا:
- منابع تک فوتون
- حالت های تک فوتونی
- مسیرهای اپتیکی
- آشکارسازهای تک فوتون
ریخت ها:
- beam splitter
- phase shifter
- delay line
- polarization rotator
- lossy channel
- single-photon measurement
مثال:
مدار Mach-Zehnder برای یک فوتون منفرد یک دیاگرام در چنین رسته ای ایجاد می کند.
مسئله باز:
چگونه indistinguishability فوتون ها را در سطح رسته ای به صورت یک ناوردای ساختاری وارد کنیم؟
--------------------------------------------------
89) رابطه رسته ها با فضای هیلبرت
--------------------------------------------------
تعریف:
بخش بزرگی از مکانیک کوانتومی و اپتیک کوانتومی بر پایه فضای هیلبرت بنا شده است. رابطه نظریه رسته ها با فضای هیلبرت در این است که می توان Hilb را خود یک رسته دانست و سامانه های فوتونی را در آن مدل کرد.
اشیا:
فضاهای هیلبرت متناظر با سامانه های فوتونی.
ریخت ها:
نگاشت های خطی کراندار، یا در کاربردهای خاص نگاشت های یکانی و کانال های کاملا مثبت.
اهمیت:
- زبان استاندارد حالت های کوانتومی
- زمینه مناسب برای عملگرهای اندازه گیری
- قابلیت اتصال به نظریه طیفی
مثال:
فضای دو بعدی قطبش فوتون، یک شیء در Hilb است.
نکته مهم:
هرچند Hilb بسیار بنیادی است، اما برای ثبت مستقیم ساختارهای عملیاتی، دیاگرامی و علی در مدارهای فوتونیکی معمولا به رسته های تک واری dagger نیاز داریم.
مسئله باز:
کدام ویژگی های فیزیکی در گذار از Hilb به رسته های عملیاتی بهتر آشکار می شوند؟
--------------------------------------------------
90) رابطه رسته ها با فضای فاک
--------------------------------------------------
تعریف:
فضای فاک برای توصیف تعداد متغیر ذرات، مخصوصا بوزون ها مانند فوتون ها، ضروری است. در فوتونیک کوانتومی، بسیاری از فرایندها در Fock space طبیعی تر از فضای هیلبرت تک ذره ای توصیف می شوند.
اشیا:
- زیرفضاهای n-فوتونی
- فضای خلأ
- کل فضای فاک بوزونی
- زیرسامانه های مدی
ریخت ها:
- عملگرهای خلق و فنا
- نگاشت های عددفوتونی
- تبدیل های خطی روی مدها
- کانال های اتلافی
مثال:
یک beam splitter در توصیف تک ذره ای یک ماتریس 2x2 است، اما در فضای فاک روی همه زیرفضاهای n-فوتونی عمل می کند.
اهمیت:
- توصیف چندفوتونی
- تحلیل آمار بوزونی
- مدل سازی منابع نوری واقعی
مسئله باز:
چگونه می توان ساختار فاک را در قالب یک functor یا 2-category به صورت طبیعی بازسازی کرد؟
--------------------------------------------------
91) اصل جهان شمول در سامانه های فوتونی
--------------------------------------------------
تعریف:
اصل جهان شمول یا universal property یکی از بنیادی ترین ایده های نظریه رسته ها است. در فوتونیک، این اصل می تواند برای مشخص کردن ساختارهایی به کار رود که نه صرفا از طریق نمایش ماتریسی، بلکه از راه یک ویژگی بهینه یا یکتا تعریف می شوند.
نمونه ها:
- ضرب تانسوری سامانه ها
- جمع مستقیم مدها
- فضای حالت مرکب
- کوپروڈاکت مسیرها
- اشیای آزاد برای مدارات اپتیکی
مثال:
ترکیب دو مد مستقل فوتونی می تواند با یک ساختار تانسوری که دارای خاصیت جهان شمول است تعریف شود.
اهمیت:
این دیدگاه تعریف های وابسته به مختصات را کنار می زند و ساختارهای فیزیکی را به صورت مفهومی و یکتا مشخص می کند.
مسئله باز:
آیا می توان بسیاری از سازوکارهای استاندارد فوتونیک، مثل beam splitter و interferometer، را از یک اصل جهان شمول بازسازی کرد؟
--------------------------------------------------
92) رسته های غنی شده برای فوتونیک
--------------------------------------------------
تعریف:
در enriched category، مجموعه ریخت ها فقط یک set ساده نیست، بلکه خود در یک رسته دیگر ساختارمند است. در فوتونیک این ایده بسیار طبیعی است، زیرا ریخت ها ممکن است دامنه احتمال، فاز، وزن آماری، یا حتی ساختار توپولوژیک داشته باشند.
نمونه:
- enrichment over vector spaces
- enrichment over metric spaces
- enrichment over probabilistic spaces
- enrichment over Hilbert spaces
اشیا:
سامانه های فوتونی.
ریخت ها:
به جای یک مجموعه ساده از تبدیل ها، میان هر دو شیء یک فضای ساختارمند از گذارها وجود دارد.
مثال:
فضای همه کانال های ممکن میان دو سامانه فوتونی را می توان خود یک شیء خطی یا کوانتومی در نظر گرفت.
اهمیت:
این رویکرد برای توصیف دامنه های گذار، برهم نهی فرایندها، و فاصله میان کانال ها مهم است.
مسئله باز:
کدام enrichment برای مدل سازی تجربی فوتونیک واقعی مناسب تر است: احتمالاتی، هیلبرتی، یا متریکی؟
--------------------------------------------------
93) رسته های مرتبه بالاتر
--------------------------------------------------
تعریف:
در بسیاری از سامانه های پیچیده، نه فقط اشیا و ریخت ها، بلکه تبدیل میان ریخت ها نیز اهمیت دارد. اینجا 2-category یا higher category وارد می شود.
اشیا:
سامانه های فوتونی یا رسته های فوتونی.
1-ریخت ها:
فرایندهای فیزیکی یا functor ها.
2-ریخت ها:
تبدیل میان functor ها، یا هم ارزی میان دو توصیف مختلف از یک فرایند.
کاربرد:
- مقایسه دو مدل متفاوت از یک مدار نوری
- بیان هم ارزی دو معماری کوانتومی
- مدل سازی تغییر شکل پیوسته مدارها
مثال:
دو شبکه تداخلی که از نظر عملیاتی یک خروجی یکسان تولید می کنند، ممکن است به وسیله 2-morphism مرتبط شوند.
مسئله باز:
چه higher-categorical structure برای توصیف فرایندهای فوتونیکی قابل برنامه ریزی مناسب تر است؟
--------------------------------------------------
94) رابطه رسته و نظریه عملگرها
--------------------------------------------------
تعریف:
نظریه عملگرها ستون فقرات ریاضی مکانیک کوانتومی است. در فوتونیک، بسیاری از کمیت ها با عملگرهای روی فضای هیلبرت یا فاک توصیف می شوند. نظریه رسته ها می تواند این ساختار را سازماندهی کند.
اشیا:
فضاهای عملگرپذیر، فضاهای هیلبرت، جبرهای عملگری.
ریخت ها:
- همریختی های جبری
- نگاشت های مثبت
- نمایش های عملگری
- تبدیل های بین جبرهای C*-algebra یا von Neumann algebra
مثال:
مشاهده پذیرهای فوتونی مانند عملگر تعداد، عملگرهای خلق و فنا، و عملگرهای quadrature در این چارچوب قرار می گیرند.
اهمیت:
اتصال میان زبان انتزاعی رسته ای و زبان دقیق طیفی و عملگری.
مسئله باز:
چگونه می توان نظریه رسته ای و نظریه جبرهای عملگری را برای سامانه های باز فوتونی به صورت کامل یکپارچه کرد؟
--------------------------------------------------
95) مدل سازی رسته ای اندازه گیری کوانتومی
--------------------------------------------------
تعریف:
اندازه گیری در سامانه های فوتونی فقط یک فرافکنی ساده نیست؛ در عمل با POVM، آشکارسازهای ناقص، شمارش فوتون، homodyne و heterodyne measurement سر و کار داریم. نظریه رسته ها می تواند این فرایندها را به صورت عملیاتی طبقه بندی کند.
اشیا:
- حالت های فوتونی
- سامانه های آشکارسازی
- خروجی های کلاسیکی
- داده های آماری
ریخت ها:
- POVM maps
- projective measurement
- generalized measurement
- detector response maps
- quantum-to-classical channels
مثال:
آشکارساز on/off یک ریخت از رسته حالت های فوتونی به رسته داده های دودویی است.
اهمیت:
این چارچوب برای tomography، estimation، communication و quantum sensing مفید است.
مسئله باز:
آیا می توان تمامی اندازه گیری های فوتونی متداول را در یک رسته عملیاتی واحد و بسته مدل کرد؟
--------------------------------------------------
96) رسته های پویا برای سامانه های نوری
--------------------------------------------------
تعریف:
بسیاری از سامانه های نوری ایستا نیستند، بلکه با زمان تغییر می کنند: مدولاتورها، کاواک های تنظیم شونده، محیط های غیرایستان، یا سامانه های driven-dissipative. بنابراین باید رسته هایی تعریف شوند که پویایی را در خود داشته باشند.
اشیا:
سامانه های نوری وابسته به زمان.
ریخت ها:
- evolution maps
- propagators
- time-ordered transformations
- control actions
مثال:
یک مدولاتور فاز زمان وابسته که فاز موج را بر حسب زمان تغییر می دهد.
ساختار:
این رسته ها می توانند به صورت fibered category، indexed category، یا category over time parameter ساخته شوند.
مسئله باز:
بهترین چارچوب رسته ای برای مدل سازی سامانه های نوری غیرایستان و دارای بازخورد چیست؟
--------------------------------------------------
97) رسته های احتمالی در فوتونیک
--------------------------------------------------
تعریف:
در بسیاری از آزمایش های فوتونیکی خروجی ها ذاتا احتمالاتی اند. همچنین آشکارسازی، تولید فوتون و کانال های نویزی با توزیع های آماری همراه اند. بنابراین به رسته هایی نیاز داریم که احتمال را در سطح بنیادی حمل کنند.
اشیا:
- سامانه های فوتونی
- توزیع های خروجی
- منابع تصادفی
ریخت ها:
- stochastic maps
- Markov kernels
- probabilistic channels
- measurement outcome maps
مثال:
یک منبع SPDC که با احتمال مشخص جفت فوتون تولید می کند.
اهمیت:
برای مدل سازی:
- quantum optics experiments
- heralding
- sampling
- noisy communication
مسئله باز:
مرز دقیق میان رسته های احتمالی کلاسیک و رسته های کوانتومی در سامانه های فوتونی کجاست؟
--------------------------------------------------
98) رسته های تصادفی
--------------------------------------------------
تعریف:
اگرچه با رسته های احتمالی مرتبط اند، اما رسته های تصادفی گسترده ترند و می توانند شامل فرایندهای اتفاقی وابسته به زمان، نویز رنگی، و محیط های تصادفی نیز باشند.
اشیا:
سامانه های فوتونی در محیط های تصادفی.
ریخت ها:
- random evolutions
- stochastic differential channels
- ensemble maps
- disorder-induced transformations
مثال:
انتشار نور در محیط کدر با نوسانات تصادفی ضریب شکست.
اهمیت:
این چارچوب برای random media، speckle، localization، و wavefront shaping مهم است.
مسئله باز:
چگونه می توان میان stochastic category و quantum channel category پلی دقیق برقرار کرد؟
--------------------------------------------------
99) رسته های وابسته به زمان
--------------------------------------------------
تعریف:
در این چارچوب، زمان صرفا یک پارامتر بیرونی نیست، بلکه جزئی از ساختار رسته است. برای مثال، اشیا ممکن است در زمان های مختلف تعریف شوند و ریخت ها تکامل از t1 به t2 باشند.
اشیا:
A(t)، B(t)، ... سامانه ها در لحظه های مختلف.
ریخت ها:
f_t1,t2: A(t1) -> B(t2)
ترکیب:
اگر زمان ها سازگار باشند، ترکیب به صورت طبیعی تعریف می شود:
f_t1,t2 سپس g_t2,t3
مثال:
انتقال یک بسته موج فوتونی از ورودی مدار در زمان t1 به خروجی در زمان t2.
کاربرد:
- delay systems
- feed-forward
- time-bin encoding
- dynamic networks
مسئله باز:
آیا می توان یک نظریه کامل برای time-aware photonic categories ساخت که همزمان علیت و نویز را نیز در بر گیرد؟
--------------------------------------------------
100) یکپارچه سازی ساختارهای رسته ای
--------------------------------------------------
تعریف:
پس از معرفی رسته های مختلف برای حالت ها، کانال ها، اندازه گیری، نویز، زمان، فاک، قطبش، و همدوسی، پرسش اصلی این است که چگونه همه این چارچوب ها در یک ساختار واحد گردآوری شوند.
هدف:
ساخت یک فراچارچوب یا meta-category برای فوتونیک کوانتومی که بتواند:
- حالت
- فرایند
- اندازه گیری
- نویز
- چندفوتونی بودن
- وابستگی زمانی
- ساختار فضایی و مدی
را همزمان ثبت کند.
راهکارهای ممکن:
- bicategory of photonic processes
- operadic frameworks
- enriched dagger monoidal categories
- higher topos like approaches
- categorical quantum mechanics extensions
مثال:
سامانه ای که شامل منبع تک فوتون، مدار تداخلی، اتلاف، آشکارساز ناقص، و پردازش کلاسیکی خروجی است، باید در این فراساختار به صورت یک شیء مرکب یا دیاگرام واحد قابل نمایش باشد.
اهمیت:
این یکپارچه سازی می تواند پایه نظری نسل بعدی طراحی:
- پردازشگرهای فوتونیکی
- سامانه های کوانتومی نوری
- شبکه های مترولوژی
- پلتفرم های محاسبات کوانتومی نوری
باشد.
مسئله باز نهایی:
آیا می توان یک زبان رسته ای واحد ساخت که برای کل اپتیک کوانتومی و فوتونیک پیشرفته همان نقشی را بازی کند که معادلات ماکسول برای الکترومغناطیس کلاسیک بازی می کنند؟
--------------------------------------------------
جمع بندی
--------------------------------------------------
این 20 عنوان، ادامه طبیعی فهرست قبلی اند و بیشتر به سمت بنیان گذاری ریاضی عمیق تر برای فوتونیک کوانتومی می روند. در این بخش، تمرکز از «صرف نام بردن رسته ها» به سمت «ساخت رسته های تخصصی، تابع ریخت ها، ساختارهای غنی شده، زمان مند، احتمالی، و یکپارچه» حرکت می کند.
اگر بخواهید، در گام بعدی می توانم یکی از این دو کار را انجام دهم:
1. کل عناوین 81 تا 100 را به صورت HTML آماده Bloggerfa دربیاورم.
2. هر کدام از عناوین 81 تا 100 را خیلی عمیق تر و در حد متن پایان نامه بسط دهم.
اگر بخواهید، من بلافاصله نسخه HTML بلاگفا را هم آماده می کنم.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.