مثال کاربردی ۷: بازتاب کلی داخلی و امواج محوشونده (Evanescent Waves)
صورت مسئله: فرض کنید نوری از یک محیط غلیظ (مثل شیشه با n1) به محیط رقیق (مثل هوا با n2) برخورد می‌کند. اگر زاویه تابش از زاویه بحرانی بزرگتر باشد، بازتاب کلی رخ می‌دهد. اما طبق معادله موج، میدان الکتریکی در محیط دوم (هوا) دقیقاً چه شکلی دارد؟
۱. شرط زاویه بحرانی
طبق قانون اسنل، وقتی زاویه تابش به قدری زیاد شود که زاویه شکست ۹۰ درجه شود، به آن زاویه بحرانی می‌گوییم:
θc = arcsin( n2 / n1 )
۲. تحلیل موج در حالت بازتاب کلی (θ > θc)
در این حالت، طبق ریاضیات، سینوس زاویه شکست بزرگتر از ۱ می‌شود! این یعنی مؤلفه بردار موج در جهت عمود بر مرز (kz) موهومی می‌شود:
kz2 = -j α (Imaginary Wave Vector)
۳. ظهور امواج محوشونده (Evanescent Waves)
اگر این بردار موج موهومی را در جواب عمومی معادله موج قرار دهیم، میدان در محیط دوم به این شکل در می‌آید:
E2(z, x) = E0 . e^(-αz) . e^(-jβx)
این معادله دو بخش بسیار مهم دارد:
- بخش نمایی (e^-αz): میدان در جهت عمود بر مرز به شدت تضعیف می‌شود و به صفر می‌رسد (موج منتشر نمی‌شود).
- بخش فازی (e^-jβx): موج فقط در طول مرز حرکت می‌کند.
۴. چرا این پدیده حیاتی است؟
۱. فیبر نوری: این امواج باعث می‌شوند نور در داخل هسته فیبر محبوس بماند، اما مقدار کمی از میدان در لایه محافظ (Cladding) نفوذ می‌کند.
۲. میکروسکوپ‌های پیشرفته: میکروسکوپ TIRF از این میدان بسیار نازک برای تصویربرداری از تک‌مولکول‌ها در زیست‌شناسی استفاده می‌کند.
۳. حسگرهای نوری: هرگونه تغییر در محیط دوم، بر این موج اثر می‌گذارد و می‌توان از آن برای تشخیص مواد شیمیایی استفاده کرد.
تحلیل ریاضیاتی فاز موهومی در شرایط مرزی ناپیوسته
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.