مسئله خلاقانه: انتقال نور در فیبر نوری و محاسبه زاویه بحرانی
فیبرهای نوری رشته‌های باریکی از شیشه یا پلاستیک شفاف هستند که نور را با استفاده از پدیده بازتاب کلی داخلی انتقال می‌دهند. برای اینکه نور در هسته فیبر محبوس بماند، ضریب شکست هسته باید بیشتر از غلاف (پوسته) باشد. در این مسئله، پارامترهای اصلی یک فیبر نوری استاندارد را تحلیل می‌کنیم.
۱. داده‌های مسئله
n_core = 1.48 (Refractive index of core)
n_cladding = 1.44 (Refractive index of cladding)
c = 3.0 * 10^8 m/s (Speed of light in vacuum)
L = 1000 m (Fiber length)
۲. محاسبه زاویه بحرانی (Critical Angle)
زاویه بحرانی، کمترین زاویه‌ای است که در آن بازتاب کلی داخلی رخ می‌دهد. این زاویه از رابطه زیر به‌دست می‌آید:
sin(theta_c) = n_cladding / n_core
جایگذاری عددی:
sin(theta_c) = 1.44 / 1.48 ≈ 0.973
theta_c = arcsin(0.973) ≈ 76.7 deg
یعنی پرتوهای نوری که با زاویه‌ای بزرگتر از ۷۶.۷ درجه نسبت به خط عمود به مرز هسته و غلاف برخورد کنند، در هسته محبوس می‌شوند.
۳. محاسبه سرعت نور در هسته فیبر
سرعت نور در محیط شفاف کمتر از خلاء است و طبق رابطه زیر محاسبه می‌شود:
v = c / n_core
v = (3.0 * 10^8) / 1.48
v ≈ 2.027 * 10^8 m/s
۴. زمان سفر نور در یک کیلومتر فیبر
برای یک فیبر مستقیم به طول ۱۰۰۰ متر، زمان رسیدن سیگنال برابر است با:
t = L / v
t = 1000 / (2.027 * 10^8)
t ≈ 4.93 * 10^-6 s = 4.93 µs
بنابراین نور حدود ۵ میکروثانیه طول می‌کشد تا یک کیلومتر را در فیبر طی کند.
۵. بازه زاویه پذیرش (Acceptance Angle)
بیشترین زاویه‌ای که نور می‌تواند از هوا وارد فیبر شود تا بازتاب کلی رخ دهد، از رابطه عددی زیر (Numerical Aperture) به‌دست می‌آید:
NA = sqrt(n_core^2 - n_cladding^2)
NA = sqrt(1.48^2 - 1.44^2)
NA = sqrt(2.1904 - 2.0736) = sqrt(0.1168) ≈ 0.342
زاویه پذیرش در هوا:
theta_a = arcsin(0.342) ≈ 20.0 deg
۶. نتیجه‌گیری
- زاویه بحرانی هسته-غلاف: ۷۶.۷ درجه
- سرعت عبور نور در فیبر: ۲.۰۳ × ۱۰^۸ متر بر ثانیه
- زمان انتقال در ۱ کیلومتر: ۴.۹۳ میکروثانیه
- زاویه پذیرش ورودی: ۲۰ درجه
این محاسبات نشان می‌دهد که دقت در انتخاب ضریب شکست مواد و زاویه ورود نور، چقدر در پایداری ارتباطات نوری و اینترنت پرسرعت اهمیت دارد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.