مسئله خلاقانه: برانگیزش کوانتومی در نوسان‌گر با اغتشاش الکتریکی
در یک آزمایش کوانتومی، یک ذره باردار در چاه پتانسیل نوسان‌گر هماهنگ قرار دارد.
فرکانس نوسان‌گر برابر با n است
و یک میدان الکتریکی خارجی نیز به سامانه اعمال می‌شود.
اغتشاش واردشده به صورت زیر داده شده است:
V(t) = q E xm cos(nt)
در اینجا:
- n: رقم یکان شماره دانشجویی
- m: رقم دهگان شماره دانشجویی
- اگر هر کدام از این ارقام صفر باشد، به جای آن عدد 1 در نظر بگیرید.
هدف، بررسی گذار از حالت پایه به حالت‌های برانگیخته است.
سؤالات
1- ضرایب گذار از حالت پایه را برای حالت‌های مختلف بیابید.
2- کدام حالت برانگیخته، اولین گذار ناصفر را دارد؟
3- چرا برخی گذارها به دلیل تقارن، صفر می‌شوند؟
4- اگر توان وابستگی مکانی اغتشاش بزرگ‌تر شود، کدام حالت‌ها بیشتر تحریک می‌شوند؟
پاسخ تحلیلی
ایده اصلی
در نظریه اختلال وابسته به زمان، احتمال گذار از حالت پایه به حالت‌های برانگیخته
به «عنصر ماتریسی» زیر وابسته است:
<n'| xm |0>
بنابراین، مسئله به این بستگی دارد که اپراتور xm
چه حالت‌هایی را به حالت پایه وصل می‌کند.
قاعده تقارنی
تابع موج حالت پایه نوسان‌گر هماهنگ، زوج است.
از طرف دیگر، اپراتور x فرد است.
پس:
- اگر m فرد باشد، xm فرد می‌شود.
- اگر m زوج باشد، xm زوج می‌شود.
در نتیجه، فقط حالت‌هایی که با تقارن اپراتور سازگار باشند، گذار ناصفر خواهند داشت.
حالت‌های ممکن برای اولین گذار ناصفر
اگر m = 1:
اپراتور x فقط بین حالت‌هایی با اختلاف عدد کوانتومی 1 گذار می‌دهد.
پس از حالت پایه |0>، اولین حالت ناصفر:
|1>
اگر m = 2:
اپراتور x2 زوج است و از حالت پایه می‌تواند به حالت‌های زوج وصل شود.
در این حالت، اولین گذار ناصفر:
|2>
اگر m = 3:
رابطه کلی‌تری رخ می‌دهد و اولین گذار ناصفر معمولاً به حالت‌هایی با اختلاف انرژی متناسب با 3 خواهد بود،
یعنی نخستین حالت مجاز می‌تواند:
|3>
باشد، البته با شرط تقارن و ساختار دقیق عناصر ماتریسی.
جمع‌بندی کلی
- اگر m فرد باشد، اولین گذار معمولاً به حالت‌های فرد رخ می‌دهد.
- اگر m زوج باشد، اولین گذار معمولاً به حالت‌های زوج رخ می‌دهد.
- کمیت cos(nt) فقط نوسان زمانی را تعیین می‌کند و روی انتخاب حالت‌ها اثر فرکانسی دارد.
پاسخ کوتاه مسئله
اولین حالت برانگیخته با گذار ناصفر به مقدار m بستگی دارد:
- برای m=1 → حالت |1>
- برای m=2 → حالت |2>
- برای m=3 → حالت |3>
اگر بخواهی، در مرحله بعد می‌توانم همین مسئله را
کاملاً حل‌کرده و با روابط دقیق نوسان‌گر هماهنگ
بنویسم یا آن را در قالب
HTML آماده برای وبلاگ
مرتب‌تر کنم.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.