مسئله خلاقانه: اتساع زمان فوتونی در یک موج‌بر شتاب‌دار
در یک مرکز پژوهشی فوتونیک، دانشمندان یک «موج‌بر نوری شتاب‌دار» ساخته‌اند؛
وسیله‌ای که فوتون‌ها را هنگام عبور، به دلیل شتاب‌دار بودنِ موج‌بر،
در معرض یک اثر نسبیتی خاص قرار می‌دهد.
این اثر باعث می‌شود بسامد فوتون در چارچوب موج‌بر
به صورت زیر تغییر کند:
f' = f · √(1 − aL / c²)
که در آن:
- f بسامد فوتون در حالت معمول
- f' بسامد اندازه‌گیری‌شده در موج‌بر شتاب‌دار
- a شتاب موج‌بر
- L طول موج‌بر
- c سرعت نور
در یک آزمایش:
f = 5.0 × 10¹⁴ Hz
a = 4 × 10⁶ m/s²
L = 3 m
ثابت‌ها:
c = 3 × 10⁸ m/s
همچنین انرژی فوتون برابر است با:
E = hf
سؤالات
1- مقدار عبارت aL / c² را محاسبه کنید.
2- بسامد جدید فوتون f' را بیابید.
3- انرژی جدید فوتون در موج‌بر شتاب‌دار را محاسبه کنید.
4- اختلاف انرژی بین حالت معمول و حالت شتاب‌دار چقدر است؟
5- چرا شتاب‌دار بودن موج‌بر می‌تواند روی بسامد فوتون‌ها اثر بگذارد؟
پاسخ مسئله
1- محاسبه مقدار aL / c²
aL = (4 × 10⁶)(3) = 1.2 × 10⁷
c² = (3 × 10⁸)² = 9 × 10¹⁶
aL / c² = (1.2 × 10⁷) / (9 × 10¹⁶)
≈ 1.33 × 10⁻¹⁰
2- بسامد جدید f'
طبق رابطه:
f' = f · √(1 − 1.33 × 10⁻¹⁰)
با استفاده از تقریب:
√(1 − x) ≈ 1 − x/2
f' ≈ f(1 − 0.667 × 10⁻¹⁰)
بنابراین:
f' ≈ (5 × 10¹⁴)(1 − 6.67 × 10⁻¹¹)
f' ≈ 4.9999999665 × 10¹⁴ Hz
3- انرژی جدید فوتون
E' = h f'
با h = 6.63 × 10⁻³⁴:
E' ≈ (6.63 × 10⁻³⁴)(4.9999999665 × 10¹⁴)
E' ≈ 3.315 × 10⁻¹⁹ J
4- اختلاف انرژی
انرژی اولیه:
E = (6.63 × 10⁻³⁴)(5 × 10¹⁴) = 3.315 × 10⁻¹⁹ J
اختلاف:
ΔE = E − E' ≈ 3.315 × 10⁻¹⁹ − 3.315 × 10⁻¹⁹ ≈ 2.2 × 10⁻²⁹ J
این مقدار بسیار کوچک است، اما قابل اندازه‌گیری با تجهیزات فوق‌دقیق.
5- علت اثرگذاری شتاب بر فوتون
- شتاب‌دهی موج‌بر باعث ایجاد «چارچوب غیر لخت» می‌شود.
- در چارچوب‌های شتاب‌دار، زمان دچار «اتساع نسبیتی» می‌شود.
- اتساع زمان باعث تغییر بسامد اندازه‌گیری‌شده فوتون‌ها می‌شود.
- این پدیده مشابه شیفت گرانشی فرکانس در نسبیت عام است.
به همین دلیل، فوتون در موج‌بر شتاب‌دار،
فرکانسی اندکی متفاوت نسبت به حالت معمول دارد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.