ریاضیات

بردارهای ویژه حالت‌های نوری (Eigenvectors of Optical States)

در فیزیک و اپتیک، مفهوم بردارهای ویژه (Eigenvectors) و مقادیر ویژه (Eigenvalues) ابزار بسیار قدرتمندی برای توصیف چگونگی برهم‌کنش نور با محیط‌های مختلف، ادوات نوری و سیستم‌های موجبری ارائه می‌دهد. حالت‌های نوری را می‌توان بسته به دیدگاه (کلاسیک یا کوانتومی) در فضاهای برداری مختلفی تعریف کرد.

بر اساس اسناد ارائه شده و ارتباط موضوعی با فیزیک موج و قطبش، در این مطلب مفهوم بردارهای ویژه حالت‌های نوری را در سه قلمرو بررسی می‌کنیم:

1. فرمول‌بندی قطبش کلاسیک (بردارهای جونز)


2. حالت‌های ویژه کوانتومی نور (فضای هیلبرت)


3. مدهای ویژه فضایی در موجبرها (معادله هلمهولتز)

۱. بردارهای ویژه قطبش در محاسبات جونز (Jones Calculus)

در اپتیک کلاسیک، اگر یک موج تک‌رنگ در راستای محور z منتشر شود، میدان الکتریکی آن در صفحه x-y نوسان می‌کند. این حالت نوری را با یک بردار ستونی دوبعدی به نام بردار جونز (Jones Vector) نمایش می‌دهیم:

|E⟩ = [ E_x ; E_y ] = [ E_0x e^{i φ_x} ; E_0y e^{i φ_y} ]

وقتی این نور از یک المان نوری (مانند قطبش‌گر، تیغه تأخیر فاز یا محیط‌های دوقطبی) عبور می‌کند، تغییر قطبش آن توسط یک ماتریس 2 × 2 به نام ماتریس جونز (Jones Matrix) توصیف می‌شود:

|E'⟩ = J |E⟩

بردارهای ویژه حالت نوری در این سیستم، بردارهایی هستند که با عبور از المان نوری، حالت قطبش آن‌ها تغییر نمی‌کند و فقط دامنه یا فاز آن‌ها در یک ضریب ثابت (مقدار ویژه λ) ضرب می‌شود:

J |e_i⟩ = λ_i |e_i⟩

مثال اول: قطبش‌گر خطی افقی

ماتریس جونز برای یک قطبش‌گر خطی ایده‌آل که محور عبور آن افقی (راستای x) است، به صورت زیر است:

J = [ 1 , 0 ; 0 , 0 ]

این ماتریس دارای دو بردار ویژه است:

• بردار ویژه اول: |e₁⟩ = [ 1 ; 0 ] با مقدار ویژه λ₁ = 1 (نور با قطبش افقی بدون تغییر عبور می‌کند).


• بردار ویژه دوم: |e₂⟩ = [ 0 ; 1 ] با مقدار ویژه λ₂ = 0 (نور با قطبش عمودی کاملاً جذب یا حذف می‌شود).

مثال دوم: صفحه تأخیر فاز (Waveplate)

یک صفحه تأخیر فاز عمومی با محورهای نوری منطبق بر محورهای مختصات، فازی به اندازه Γ بین مؤلفه‌های x و y ایجاد می‌کند:

J = [ e^{i Γ/2} , 0 ; 0 , e^{-i Γ/2} ]

بردارهای ویژه این ماتریس همان حالت‌های قطبش خطی افقی [ 1 ; 0 ] و عمودی [ 0 ; 1 ] هستند. این موضوع نشان می‌دهد قطبش‌های ورودی در امتداد محورهای اصلی بدون تغییر شکل قطبش عبور می‌کنند و فقط فاز نسبی بین آن‌ها تغییر می‌کند.

۲. حالت‌های ویژه کوانتومی نور (Quantum Optical Eigenstates)

در مکانیک کوانتومی، میدان الکترومغناطیسی به صورت کوانتومی فرمول‌بندی می‌شود. در این فضا، ما با عملگرها و حالت‌های ویژه در فضای هیلبرت سرکار داریم:

الف) حالت‌های فاک (Fock States یا Number States)

حالت‌های فاک که با |n⟩ نمایش داده می‌شوند، بردارهای ویژه اپراتور تعداد فوتون (N = a^†a) هستند:

N |n⟩ = n |n⟩

از آنجا که هامیلتونی سیستم به صورت H = ℏω(N + 1/2) تعریف می‌شود، حالت‌های فاک بردارهای ویژه انرژی (هامیلتونی) نیز هستند:

H |n⟩ = ℏω (n + 1/2) |n⟩

ب) حالت‌های همدوس (Coherent States)

حالت‌های همدوس که با |α⟩ نشان داده می‌شوند و دقیق‌ترین توصیف کوانتومی برای نور لیزری کلاسیک هستند، بردارهای ویژه اپراتور فنا (Annihilation Operator) هستند:

a |α⟩ = α |α⟩

در اینجا α یک عدد مختلط است. از آنجا که عملگر فنا غیر هرمیتی (Non-Hermitian) است، مقادیر ویژه آن می‌توانند مقادیر مختلط باشند.

۳. مدهای ویژه فضایی در موجبرها (Spatial Eigenmodes)

در فیزیک فیبر نوری و موجبرهای دی‌الکتریک، امواج الکترومغناطیسی با حل معادله موج هلمهولتز تحت شرایط مرزی هندسه موجبر توصیف می‌شوند.

با جداسازی متغیرها، میدان الکترومغناطیسی منتشر شونده در راستای z به صورت زیر نوشته می‌شود:

E(x, y, z, t) = E(x, y) e^{i(βz - ωt)}

با جایگذاری این رابطه در معادله موج، به یک معادله دیفرانسیل دو بعدی (معادله مقادیر ویژه) برای توزیع میدان عرضی E(x, y) می‌رسیم:

[∇_t² + k₀² n²(x,y)] E(x, y) = β² E(x, y)

در این معادله دیفرانسیل:

• عملگر سمت چپ، عملگر دیفرانسیلی سیستم نوری است.


• توابع ویژه (بردارهای ویژه نوری): پروفایل‌های میدان عرضی E(x, y) هستند که به آن‌ها مدهای نوری (مانند مد پایه‌ای LP₀₁ یا TEM₀₀) می‌گویند.


• مقادیر ویژه: ثابت‌های انتشار مربع شده (β²) هستند که سرعت فاز و ویژگی‌های انتشار هر مد را مشخص می‌کنند.

جمع‌بندی

مفهوم بردارهای ویژه حالت‌های نوری بسته به کاربرد، معنای فیزیکی خاصی پیدا می‌کند:

• در قطبش، نشان‌دهنده حالت‌های پایدار قطبش هنگام عبور از ابزارهای نوری است.


• در مکانیک کوانتومی، حالت‌هایی با تعداد فوتون معین یا حالت‌های نوسانی معین را توصیف می‌کند.


• در اپتیک هدایت‌شده، نشان‌دهنده مدهای الکترومغناطیسی پایداری است که بدون تغییر شکل هندسی در طول یک فیبر یا موجبر منتشر می‌شوند.