ریاضیات

فضاهای برداری و حالت‌های فوتونی

برای توصیف دقیق فوتون در فیزیک کلاسیک و کوانتومی، از مفهوم فضای برداری استفاده می‌شود.
حالت فوتون معمولاً یک شیء ریاضی است که در یک فضای برداری یا دقیق‌تر، در یک فضای هیلبرت تعریف می‌شود.
این زبان ریاضی به ما اجازه می‌دهد قطبش، فاز، همدوسی، برهم‌نهی و درهم‌تنیدگی فوتون را به صورت منظم و دقیق بیان کنیم.

1. فضای برداری چیست؟

فضای برداری مجموعه‌ای از اشیاء است که به آن‌ها بردار می‌گوییم و می‌توان آن‌ها را با هم جمع کرد و در یک عدد ضرب نمود، به‌طوری‌که قواعد جبری مشخصی برقرار باشد.

در فیزیک کوانتومی، حالت‌های یک سیستم به صورت بردارهایی در یک فضای برداری مختلط نمایش داده می‌شوند.

|ψ⟩ ∈ H

که در آن H فضای هیلبرت سیستم است.

2. حالت فوتونی به عنوان بردار حالت

در مکانیک کوانتومی، حالت یک فوتون با یک بردار حالت نمایش داده می‌شود.
برای مثال اگر تنها درجه آزادی قطبش را در نظر بگیریم، فضای حالت فوتون یک فضای دوبعدی است.

می‌توان دو حالت پایه را چنین انتخاب کرد:

|H⟩,   |V⟩

که به‌ترتیب نشان‌دهندهٔ قطبش افقی و قطبش عمودی هستند.

هر حالت قطبش دلخواه را می‌توان به صورت ترکیب خطی این دو پایه نوشت:

|ψ⟩ = a|H⟩ + b|V⟩

که در آن a و b ضرایب مختلط هستند.

3. شرط نرمال‌سازی

اگر فوتون با قطعیت در یکی از حالت‌های ممکن باشد، باید بردار حالت آن نرمال‌سازی شده باشد:

|a|² + |b|² = 1

در این صورت:

• |a|² احتمال آشکارسازی فوتون در حالت |H⟩ است.


• |b|² احتمال آشکارسازی فوتون در حالت |V⟩ است.

4. برهم‌نهی حالت‌های فوتونی

یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های فوتون این است که می‌تواند در حالت برهم‌نهی قرار گیرد.
مثلاً فوتون می‌تواند نه صرفاً افقی و نه صرفاً عمودی، بلکه ترکیبی از هر دو باشد.

برای نمونه:

|ψ⟩ = (1/√2)|H⟩ + (1/√2)|V⟩

این حالت متناظر با قطبش خطی در زاویه 45 درجه است.

5. حالت‌های پایهٔ دیگر

علاوه بر پایهٔ افقی-عمودی، می‌توان پایه‌های دیگری نیز برای فضای حالت فوتون انتخاب کرد.

مثلاً پایهٔ قطبش دایره‌ای:

|R⟩,   |L⟩

که به ترتیب قطبش دایره‌ای راست‌گرد و چپ‌گرد را نشان می‌دهند.

رابطهٔ این پایه با پایهٔ افقی-عمودی به صورت زیر است:

|R⟩ = (1/√2)(|H⟩ + i|V⟩)

|L⟩ = (1/√2)(|H⟩ - i|V⟩)

6. فضای هیلبرت فوتون

اگر تنها قطبش را در نظر بگیریم، فضای حالت فوتون دوبعدی است.
اما در حالت کلی فوتون درجات آزادی بیشتری نیز دارد:

• تکانه


• فرکانس


• مد فضایی


• فاز


• زمان رسیدن


• تکانه زاویه‌ای مداری

در نتیجه، فضای حالت کامل فوتون می‌تواند بسیار بزرگ و حتی بی‌نهایت‌بعدی باشد.

7. حالت تک‌فوتونی

در الکترودینامیک کوانتومی، یک حالت تک‌فوتونی معمولاً به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

|1⟩

و حالت خلأ که هیچ فوتونی در آن وجود ندارد:

|0⟩

اگر یک مد میدان الکترومغناطیسی را در نظر بگیریم، حالت‌های عددی فوتونی به صورت زیر هستند:

|0⟩, |1⟩, |2⟩, |3⟩, ...

که به آن‌ها حالت‌های فاک گفته می‌شود.

8. عملگرهای آفرینش و فنا

در توصیف کوانتومی میدان، عملگرهای مهمی به نام عملگر آفرینش و عملگر فنا داریم:

a^†,   a

این عملگرها تعداد فوتون‌های یک مد را تغییر می‌دهند:

a^†|n⟩ = √(n+1)|n+1⟩

a|n⟩ = √n|n-1⟩

9. درهم‌تنیدگی فوتونی

اگر دو فوتون داشته باشیم، فضای حالت کل برابر ضرب تانسوری فضای حالت هر فوتون است.

H_total = H₁ ⊗ H₂

در این فضا، حالت‌هایی وجود دارند که قابل تجزیه به حاصل‌ضرب دو حالت مستقل نیستند.
این حالت‌ها را درهم‌تنیده می‌نامیم.

مثال معروف:

|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|HH⟩ + |VV⟩)

این حالت یکی از حالت‌های بل است و در ارتباطات کوانتومی اهمیت بنیادی دارد.

10. ارتباط با اپتیک و فوتونیک

در اپتیک کلاسیک، میدان الکتریکی نور را می‌توان به صورت یک بردار در فضای قطبش نمایش داد.
در فوتونیک کوانتومی، همین ایده به زبان حالت‌های کوانتومی تعمیم می‌یابد.

بنابراین:

• قطبش فوتون ← فضای برداری دوبعدی


• مدهای فضایی فوتون ← فضای برداری بزرگ‌تر


• حالت‌های چندفوتونی ← ضرب تانسوری فضاها

این چارچوب در مباحث زیر بسیار مهم است:

• اپتیک کوانتومی


• اطلاعات کوانتومی


• ارتباطات کوانتومی


• فوتونیک مجتمع


• درهم‌تنیدگی و رمزنگاری کوانتومی

جمع‌بندی

حالت فوتون در فیزیک کوانتومی یک بردار در فضای هیلبرت است.
این نمایش برداری به ما امکان می‌دهد مفاهیمی مانند قطبش، برهم‌نهی، درهم‌تنیدگی، فاز و تعداد فوتون‌ها را به شکلی دقیق و ریاضی توصیف کنیم.
به همین دلیل، فضاهای برداری زبان بنیادی مطالعهٔ حالت‌های فوتونی در فیزیک مدرن هستند.