توسط علی رضا نقش نیلچی
| سه شنبه نهم تیر ۱۴۰۵ | 20:9
مثال: چارچوب زمانی در مکانیک کوانتومی (معادله شرودینگر وابسته به زمان)
در مکانیک کوانتومی اگر حالت سیستم با زمان تغییر کند باید از
معادله شرودینگر وابسته به زمان استفاده کنیم.
مرحله 1 : معادله شرودینگر وابسته به زمان
iħ ∂ψ(x,t)/∂t =
[-(ħ² / 2μ) ∂²/∂x² + V(x)] ψ(x,t)
در این رابطه:
- ψ(x,t) تابع موج وابسته به مکان و زمان است.
- V(x) پتانسیل سیستم است.
- μ جرم ذره است.
مرحله 2 : جداسازی متغیرها
فرض می‌کنیم تابع موج به صورت حاصل ضرب دو تابع باشد:
ψ(x,t) = φ(x)T(t)
مرحله 3 : معادله زمانی
با جایگذاری در معادله شرودینگر، قسمت زمانی به صورت زیر به دست می‌آید:
iħ dT/dt = ET
حل این معادله:
T(t) = exp(-iEt/ħ)
مرحله 4 : تابع موج کامل
در نتیجه تابع موج کلی سیستم:
ψ(x,t) = φ(x) exp(-iEt/ħ)
مرحله 5 : مثال برای ذره در جعبه
اگر ذره در جعبه یک‌بعدی باشد:
φn(x) = √(2/L) sin(nπx/L)
تابع موج وابسته به زمان:
ψn(x,t) =
√(2/L) sin(nπx/L)
exp(-iEnt/ħ)
نتیجه فیزیکی
عامل نمایی زمانی باعث تغییر فاز تابع موج می‌شود.
در حالت‌های تک‌انرژی، چگالی احتمال با زمان تغییر نمی‌کند،
اما در برهم‌نهی چند حالت انرژی، توزیع احتمال با زمان نوسان خواهد کرد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.