توسط علی رضا نقش نیلچی
| سه شنبه نهم تیر ۱۴۰۵ | 19:54
مثال کامل: ذره در جعبه سه‌بعدی در حضور میدان الکتریکی
فرض کنید ذره‌ای با جرم μ داخل یک جعبه سه‌بعدی با طول ضلع L قرار دارد.
همچنین یک میدان الکتریکی ثابت در راستای x به سیستم اعمال شده است.
E = E0 x̂
مرحله 1 : پتانسیل جعبه
پتانسیل جعبه به صورت زیر تعریف می‌شود:
Vbox(x,y,z) = 0
0 < x,y,z < L
Vbox(x,y,z) = ∞
otherwise
مرحله 2 : تابع موج بدون میدان
توابع موج نرمالیزه جعبه سه‌بعدی:
ψnₓnᵧn_z(x,y,z)
=
(2/L)^(3/2)
sin(nₓπx/L)
sin(nᵧπy/L)
sin(n_zπz/L)
اعداد کوانتومی:
nₓ , nᵧ , n_z = 1,2,3,...
مرحله 3 : انرژی‌های مجاز
Enₓnᵧn_z
=
(ħ²π² / 2μL²)
(nₓ² + nᵧ² + n_z²)
حالت پایه:
ψ111
E111
=
(3ħ²π²)/(2μL²)
مرحله 4 : اولین حالت برانگیخته
اولین حالت‌های برانگیخته:
ψ211 , ψ121 , ψ112
این سه حالت در غیاب میدان تبهگن هستند.
E211
=
E121
=
E112
=
(6ħ²π²)/(2μL²)
مرحله 5 : اعمال میدان الکتریکی
پتانسیل ناشی از میدان الکتریکی:
V'(x) = -qE0x
هامیلتونی کل:
H = H0 - qE0x
مرحله 6 : دامنه گذار در تقریب دوقطبی
دامنه گذار بین حالت پایه و اولین حالت برانگیخته:
M = <211|x|111>
با جایگذاری توابع موج:
M
=
∫∫∫ ψ211*(x,y,z)
x
ψ111(x,y,z)
dxdydz
به دلیل متعامد بودن توابع در راستاهای y و z:
M
=
(2/L)
∫₀ᴸ
x sin(2πx/L) sin(πx/L) dx
مرحله 7 : محاسبه انتگرال
از رابطه مثلثاتی استفاده می‌کنیم:
sinA sinB
=
(1/2)[cos(A-B)-cos(A+B)]
پس:
sin(2πx/L)sin(πx/L)
=
(1/2)
[cos(πx/L)-cos(3πx/L)]
در نتیجه:
M
=
-(16L)/(9π²)
مرحله 8 : نتیجه فیزیکی
چون دامنه گذار صفر نیست، گذار بین حالت پایه و حالت برانگیخته
در حضور میدان الکتریکی مجاز است.
همچنین میدان الکتریکی باعث شکسته شدن تبهگنی ترازهای انرژی می‌شود
که همان اثر استارک است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.