تعریف رستهٔ حالت‌های فوتونی
نظریه رسته چارچوبی انتزاعی برای مطالعه ساختارهای ریاضی و روابط میان آنها فراهم می‌کند. در این چارچوب، می‌توان مجموعه حالت‌های فوتونی را به‌صورت یک رسته مدل کرد تا خواص ساختاری سامانه‌های فوتونی مستقل از نمایش ریاضی آنها بررسی شود.
در یک چارچوب پیشنهادی، رستهٔ حالت‌های فوتونی را با نماد نمایش می‌دهیم. اشیای این رسته، حالت‌های کوانتومی فوتون هستند که می‌توانند به‌صورت بردارهای نرمال‌شده در فضای هیلبرت یا ماتریس‌های چگالی نمایش داده شوند. انتخاب ماتریس چگالی امکان توصیف حالت‌های خالص و آمیخته را به‌طور هم‌زمان فراهم می‌کند.
ریخت‌های این رسته، تبدیل‌های فیزیکی مجاز میان حالت‌های فوتونی هستند. در چارچوب نظریه اطلاعات کوانتومی، این تبدیل‌ها معمولاً نگاشت‌های کاملاً مثبت و حافظ اثر (Completely Positive Trace-Preserving Maps یا CPTP) در نظر گرفته می‌شوند. این نگاشت‌ها تحول حالت‌های فوتونی را در حضور برهم‌کنش با محیط نیز توصیف می‌کنند.
ترکیب دو ریخت، برابر با ترکیب معمول نگاشت‌های کوانتومی است و خاصیت شرکت‌پذیری را ارضا می‌کند. همچنین برای هر حالت فوتونی، ریخت همانی وجود دارد که حالت را بدون تغییر حفظ می‌کند. بنابراین، اصول بنیادی نظریه رسته، شامل وجود همانی و شرکت‌پذیری، برقرار هستند.
در صورت وجود عملگر ضرب تانسوری، رستهٔ می‌تواند به یک رسته تک‌وار متقارن (Symmetric Monoidal Category) مجهز شود. در این ساختار، ترکیب چند فوتون یا چند سامانه فوتونی به‌صورت ضرب تانسوری اشیا و ریخت‌ها مدل می‌شود که برای توصیف درهم‌تنیدگی، مدارهای فوتونی و شبکه‌های کوانتومی اهمیت اساسی دارد.
این تعریف، یک چارچوب پژوهشی پیشنهادی برای به‌کارگیری نظریه رسته در مطالعه حالت‌های فوتونی است. بررسی خواص جبری این رسته، وجود حدود و هم‌حدود، تابع‌ریخت‌ها، الحاق‌ها و ارتباط آن با رسته‌های فضای هیلبرت و کانال‌های کوانتومی، از مسائل باز و جذاب پژوهشی در این زمینه به شمار می‌رود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.