ریاضیات

مثال کاربردی ۳۵: سرعت فاز و سرعت گروه در موجبر مستطیلی

انتشار امواج الکترومغناطیسی در موجبرهای فلزی با انتشار در فضای آزاد تفاوت دارد.

به دلیل وجود فرکانس قطع، سرعت فاز و سرعت گروه در موجبر رفتار خاصی دارند.

مرحله ۱: رابطه پخش در موجبر

برای موجبر مستطیلی رابطه بین فرکانس و ثابت انتشار به صورت زیر است:

که در آن:

• β ثابت انتشار موجبر
• ω فرکانس زاویه‌ای موج
• ω_c فرکانس قطع

مرحله ۲: سرعت فاز

سرعت فاز موج در موجبر برابر است با:

با جایگذاری رابطه بالا داریم:

در نتیجه سرعت فاز همیشه از سرعت نور بزرگ‌تر است.

مرحله ۳: سرعت گروه

سرعت گروه از رابطه زیر به دست می‌آید:

که نتیجه آن برابر است با:

مرحله ۴: رابطه مهم بین دو سرعت

در موجبرهای فلزی رابطه زیر برقرار است:

بنابراین اگر سرعت فاز بزرگ‌تر از سرعت نور باشد،

سرعت گروه حتماً کوچک‌تر از سرعت نور خواهد بود.

مرحله ۵: رفتار نزدیک فرکانس قطع

اگر فرکانس موج به فرکانس قطع نزدیک شود:

• سرعت گروه به صفر نزدیک می‌شود
• سرعت فاز بسیار بزرگ می‌شود

به همین دلیل موجبرها نزدیک فرکانس قطع کارایی خوبی ندارند.

مرحله ۶: کاربردهای عملی

• طراحی سیستم‌های مایکروویو
• انتقال توان در رادار
• مدارهای موجبر در شتاب‌دهنده‌ها
• فیلترهای مایکروویوی

جمع‌بندی

در موجبرهای مستطیلی، سرعت فاز بزرگ‌تر از سرعت نور است

اما سرعت گروه که حامل انرژی و اطلاعات است

همیشه کمتر از سرعت نور باقی می‌ماند.

این ویژگی نتیجه وجود فرکانس قطع در موجبر است.