:::writing
مثال کاربردی دیگر: گذار کوانتومی با اغتشاش x³
یک ذره باردار در پتانسیل نوسانگر هماهنگ قرار دارد. یک میدان الکتریکی خارجی باعث ایجاد اغتشاش زمانی زیر می‌شود:
V(t) = q E x³ cos(ωt)
فرض کنید ذره ابتدا در حالت پایه
|0>
قرار دارد. می‌خواهیم اولین حالت برانگیخته‌ای که گذار به آن ممکن است را پیدا کنیم.
گام ۱: نوشتن عملگر مکان
در نوسانگر هماهنگ داریم:
x = √(ħ / (2Mω)) (a + a†)
پس توان سوم آن برابر است با:
x³ = (ħ / (2Mω))^(3/2) (a + a†)³
گام ۲: بسط عبارت
(a + a†)³ = a³ + 3a²a† + 3aa†² + a†³
گام ۳: اعمال روی حالت پایه
می‌دانیم:
a |0> = 0
بنابراین فقط جمله‌هایی باقی می‌مانند که شامل عملگر بالا‌برنده باشند:
(a + a†)³ |0> = 3 |1> + √6 |3>
گام ۴: محاسبه عناصر ماتریسی
برای حالت اول برانگیخته داریم:
<1|x³|0> = 3 (ħ / (2Mω))^(3/2)
و برای حالت سوم:
<3|x³|0> = √6 (ħ / (2Mω))^(3/2)
نتیجه فیزیکی
- چون توان x فرد است، گذارها فقط به حالت‌های فرد رخ می‌دهند.
- اولین گذار غیرصفر از حالت پایه به حالت |1> است.
- گذار بعدی به حالت |3> رخ می‌دهد.
بنابراین در این مثال میدان خارجی می‌تواند ذره را مستقیماً از حالت پایه به اولین حالت برانگیخته منتقل کند.
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.