ریاضیات

الگوریتم حل این مسئله

مسئله از شما می‌خواهد برای نوسانگر هماهنگ با اغتشاش

λV(t) = q E x^m cos(nt)

ضرایب گذار از حالت پایه |0> به حالت‌های دیگر را پیدا کنید و همچنین اولین حالت برانگیخته‌ای را که گذار به آن ناصفر است مشخص کنید.

گام ۱: شناسایی پارامترها

• n: رقم یکان شماره دانشجویی است. اگر 0 باشد، به جای آن 1 می‌گذاریم.
• m: رقم دهگان شماره دانشجویی است. اگر 0 باشد، به جای آن 1 می‌گذاریم.

گام ۲: نوشتن عملگر مکان بر حسب عملگرهای نردبانی

x = sqrt(ħ / (2Mω)) (a + a†)

پس:

x^m = (ħ / (2Mω))^(m/2) (a + a†)^m

گام ۳: اعمال قانون انتخاب

چون از حالت پایه |0> شروع می‌کنیم، فقط حالت‌هایی می‌توانند ظاهر شوند که با تعداد مناسب بالا‌برنده‌ها ساخته شوند.

• اگر m زوج باشد، فقط حالت‌های زوج ظاهر می‌شوند: |0> , |2> , |4> , ...
• اگر m فرد باشد، فقط حالت‌های فرد ظاهر می‌شوند: |1> , |3> , |5> , ...

گام ۴: اولین گذار ناصفر

• اگر m فرد باشد، اولین حالت برانگیخته ناصفر |1> است.
• اگر m زوج و بزرگ‌تر از صفر باشد، اولین حالت برانگیخته ناصفر |2> است.

گام ۵: ضریب کلی گذار

عنصر ماتریسی کلی به صورت زیر نوشته می‌شود:

= (ħ / (2Mω))^(m/2)

و این مقدار فقط برای kهایی ناصفر می‌شود که با قانون زوجیت سازگار باشند.

نتیجه نهایی:

• حالت‌های مجاز: بر حسب زوج یا فرد بودن m
• اولین گذار ناصفر: |1> برای m فرد و |2> برای m زوج