ریاضیات

(الف) زاویهٔ بروستر را بطور کامل اثبات کرده و شرح دهید. یکی از کاربردهای مهم تجربی آن را بطور کامل توضیح دهید.

پاسخ:

زاویهٔ بروستر زاویه‌ای از تابش است که در آن، بازتابِ مؤلفهٔ موازی با صفحهٔ تابش (پلاریزاسیون p) به‌طور کامل صفر می‌شود.

یعنی در این زاویه، فقط مؤلفهٔ عمود بر صفحهٔ تابش (پلاریزاسیون s) بازتاب می‌شود.

برای به‌دست آوردن این زاویه از ضریب بازتاب فرنل برای مؤلفهٔ p استفاده می‌کنیم:

r_p =

(n₂ cos θ_i - n₁ cos θ_t) /

(n₂ cos θ_i + n₁ cos θ_t)

شرط صفر شدن بازتاب برای مؤلفهٔ p این است که صورت کسر صفر شود، پس داریم:

n₂ cos θ_i = n₁ cos θ_t

از طرفی قانون اسنل برقرار است:

n₁ sin θ_i = n₂ sin θ_t

اگر دو رابطهٔ بالا را با هم ترکیب کنیم، به نتیجهٔ معروف زاویهٔ بروستر می‌رسیم:

tan θ_B = n₂ / n₁

بنابراین زاویهٔ بروستر برابر است با:

θ_B = tan^-1(n₂ / n₁)

تفسیر فیزیکی: در زاویهٔ بروستر، پرتو بازتابی و پرتو شکسته بر هم عمود می‌شوند؛ یعنی:

θ_i + θ_t = 90°

این خاصیت باعث می‌شود که در این زاویه، مؤلفهٔ p به‌طور کامل عبور کند و بازتابی نداشته باشد.

کاربرد تجربی مهم: یکی از مهم‌ترین کاربردهای زاویهٔ بروستر، تولید نور قطبیده است.

اگر نور غیرقطبیده به سطح شیشه یا یک دی‌الکتریک در زاویهٔ بروستر بتابد، مؤلفهٔ p بازتاب نمی‌شود و تنها مؤلفهٔ s بازتاب می‌یابد.

در نتیجه نور بازتابی تا حد زیادی قطبیده می‌شود.

این خاصیت در فیلترهای پلاریزه، عینک‌های ضدبازتاب، دوربین‌ها و کاهش بازتاب از سطح آب و شیشه کاربرد دارد.

(ب) نور از هوا به شیشه با ضریب شکست 1.45 می‌تابد. زاویهٔ تابش و شکست را بیابید.

حل:

در زاویهٔ بروستر داریم:

tan θ_B = n₂ / n₁ = 1.45 / 1 = 1.45

پس:

θ_B = tan^-1(1.45) ≈ 55.4°

بنابراین زاویهٔ تابش برابر است با:

θ_i = 55.4°

و چون در زاویهٔ بروستر، زاویهٔ تابش و شکست مکمل‌اند:

θ_t = 90° - 55.4° = 34.6°

نتیجه نهایی:

زاویهٔ تابش = 55.4°

زاویهٔ شکست = 34.6°