ریاضیات

اثبات روابط تداخل لایه‌های نازک و عمق نفوذ

برای اثبات فرمول‌های مربوط به تداخل در لایه‌های نازک و عمق نفوذ (امواج محو شونده)، از معادلات ماکسول و شرایط مرزی الکترومغناطیس استفاده می‌کنیم. در ادامه گام‌های اصلی این محاسبات بررسی شده است:

۱. اثبات فرمول ضریب بازتاب (R) در لایه‌های نازک

این فرمول بر اساس جمع آثار بازتاب‌های متعدد (Multiple Beam Interference) به دست می‌آید:

• گام اول: میدان‌های بازتابی: وقتی نور به لایه برخورد می‌کند، بی‌نهایت بازتاب بین دو سطح رخ می‌دهد. دامنه پرتوهای خروجی به صورت یک سری هندسی است:

• گام دوم: مجموع سری هندسی: با استفاده از رابطه مجموع سری‌های هندسی مختلط، دامنه کل بازتابی (r) محاسبه می‌شود:

• گام سوم: محاسبه توان (R): از آنجا که R = |r|² = r · r* است، با استفاده از اتحاد cos β، فرمول نهایی حاصل می‌شود:

۲. اثبات عمق نفوذ (δ) و امواج محو شونده

این بخش از قانون اسنل و بررسی بردار موج در حالت بازتاب کلی (θ₁ > θ_c) به دست می‌آید:

• گام اول: در حالت بازتاب کلی، مولفه عمودی عدد موج (k_z) موهومی می‌شود:

• گام دوم: تشکیل موج نمایی: میدان در محیط دوم به دلیل موهومی بودن k_z به صورت افت نمایی در می‌آید:

• گام سوم: استخراج δ: با جایگذاری پارامترها، فرمول عمق نفوذ نهایی به دست می‌آید:

۳. نکته امتحانی: غیر عرضی بودن موج

طبق قانون گاوس (∇ · E = 0) در محیط بدون بار، رابطه زیر برقرار است:

در امواج محو شونده، چون k_z موهومی است، برای برقرار ماندن تساوی بالا، میدان حتماً باید یک مؤلفه در جهت انتشار (E_x ≠ 0) داشته باشد. وجود این مؤلفه طولی به این معناست که موج دیگر صرفاً عرضی (TEM) نیست.