تحلیل کامل مسئله ۱۸-۱۷: امواج TM بین دو صفحه رسانای موازی
در این مسئله، هدف استخراج معادلات میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی برای مودهای TM (مغناطیسی عرضی) است که در راستای محور z و بین دو صفحه رسانای کامل در y=0 و y=b منتشر می‌شوند.
۱. تعریف میدان مغناطیسی اولیه
در مود TM، مؤلفه مغناطیسی در جهت انتشار صفر است (Bz=0). میدان مغناطیسی کل از ترکیب موج رفت و بازگشت تشکیل شده است:
Bx = [ B1 * exp(-i*k*y*cosθ) + B'1 * exp(i*k*y*cosθ) ] * exp(-i(ωt - k*z*sinθ))
۲. استخراج میدان الکتریکی از معادلات ماکسول
طبق قانون آمپر-ماکسول، میدان الکتریکی از کرل میدان مغناطیسی به دست می‌آید:
E = (i / (μ*ε*ω)) * (∇ × B)
با محاسبه کرل برای مؤلفه x میدان مغناطیسی، مؤلفه‌های Ey و Ez به صورت زیر تعریف می‌شوند:
Ey = (i / (μ*ε*ω)) * (∂Bx / ∂z)
Ez = -(i / (μ*ε*ω)) * (∂Bx / ∂y)
۳. اعمال شرایط مرزی و ساده‌سازی
در سطح رسانای کامل (y=0)، میدان مماسی Ez باید صفر باشد. این شرط منجر به برابر شدن دامنه‌ها می‌شود (B1 = B'1). با استفاده از اتحاد اوئلر، فرمول‌ها به صورت مثلثاتی ساده می‌شوند:
مؤلفه Ez (میدان الکتریکی طولی):
Ez = [ (2*i*k*cosθ * B1) / (μ*ε*ω) ] * sin(k*y*cosθ) * exp(-i(ωt - k*z*sinθ))
مؤلفه Ey (میدان الکتریکی عرضی):
Ey = [ (-2*k*sinθ * B1) / (μ*ε*ω) ] * cos(k*y*cosθ) * exp(-i(ωt - k*z*sinθ))
مؤلفه Bx (میدان مغناطیسی):
Bx = 2 * B1 * cos(k*y*cosθ) * exp(-i(ωt - k*z*sinθ))
۴. شرط انتشار و فرکانس قطع
برای اینکه Ez در صفحه بالایی (y=b) نیز صفر شود، باید داشته باشیم:
k * b * cosθ = n * π => cosθ = (n * π) / (k * b)
این رابطه نشان می‌دهد که تنها مودهای گسسته‌ای با شماره n (1, 2, 3...) می‌توانند در این ساختار منتشر شوند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.