ریاضیات

پروژه محاسباتی: تحلیل ۱۰ مرحله‌ای ضرایب فرنل

بررسی برخورد نور از هوا به کوارتز (n=1.46) در زاویه 45 درجه

۱. استخراج داده‌های اولیه:

n1 = 1.00 (Air), n2 = 1.46 (Quartz), θ1 = 45°

۲. محاسبه زاویه شکست (قانون اسنل):

sin(θ2) = (n1/n2) * sin(θ1) = (1/1.46) * 0.707 = 0.484 → θ2 ≈ 28.96°

۳. محاسبه کسینوس زوایا (برای ضرایب فرنل):

cos(θ1) = 0.707 , cos(θ2) = cos(28.96) ≈ 0.875

۴. محاسبه ضریب بازتاب دامنه (rp):

استفاده از رابطه اصلی موجود در تصویر جزوه:
r_p = (n2*cosθ1 - n1*cosθ2) / (n2*cosθ1 + n1*cosθ2)
r_p = (1.46*0.707 - 1*0.875) / (1.46*0.707 + 1*0.875) ≈ 0.157 / 1.907 ≈ 0.082

۵. محاسبه ضریب عبور دامنه (tp):

t_p = (2*n1*cosθ1) / (n2*cosθ1 + n1*cosθ2)
t_p = (2*1*0.707) / 1.907 ≈ 1.414 / 1.907 ≈ 0.741

۶. بررسی رابطه میدان‌ها (شرط مرزی II):

طبق رابطه n1(E1 + E'1) = n2*E2 در تصویر، باید داشته باشیم: (1 + r_p) * n1 = n2 * t_p (با فرض E1=1)
1.0 * (1 + 0.082) = 1.082 | 1.46 * 0.741 ≈ 1.082 (تایید صحت محاسبات)

۷. محاسبه توان بازتابی (Reflectance):

R_p = (r_p)^2 = (0.082)^2 ≈ 0.0067 (0.67%)

۸. محاسبه توان عبوری (Transmittance):

استفاده از رابطه وزنی موجود در تصویر:
T_p = (n2*cosθ2 / n1*cosθ1) * (t_p)^2
T_p = (1.46*0.875 / 1*0.707) * (0.741)^2 ≈ 1.806 * 0.549 ≈ 0.992 (99.2%)

۹. چک نهایی بقای انرژی:

R_p + T_p = 0.0067 + 0.9933 = 1.00 (100%)

۱۰. نتیجه‌گیری نهایی:

در زاویه ۴۵ درجه، شیشه کوارتز تقریباً شفافیت کامل برای قطبش p دارد و تنها کمتر از ۱ درصد نور بازتاب می‌شود. این زاویه به زاویه بروستر کوارتز (55.6°) نزدیک است، به همین دلیل بازتاب بسیار کم است.