:::writing
یک نکته زیبا درباره متغیرهای مندلستم
در بسیاری از مسائل فیزیک ذرات، برای توصیف برخوردها از متغیرهای مندلستم استفاده می‌شود.
برای یک واکنش دوجسمی مانند
A + B → C + D
سه متغیر ناوردای لورنتسی تعریف می‌کنیم که به آنها متغیرهای مندلستم گفته می‌شود.
تعریف متغیرها
s = (pA + pB)2
t = (pA − pC)2
u = (pA − pD)2
در این روابط،
p
ها چهار-تکانه ذرات هستند.
خاصیت مهم چهار-تکانه
برای هر ذره در نسبیت خاص رابطه زیر برقرار است:
p2 = m2
بنابراین برای ذرات واکنش داریم:
pA2 = mA2
pB2 = mB2
pC2 = mC2
pD2 = mD2
پایستگی چهار-تکانه
در هر برخورد، چهار-تکانه کل پایسته است. بنابراین داریم:
pA + pB = pC + pD
این همان قانون پایستگی انرژی و تکانه در قالب نسبیتی است.
حال s ، t و u را با هم جمع می‌کنیم
ابتدا هرکدام از متغیرها را باز می‌کنیم.
متغیر s :
s = (pA + pB)2
s = pA2 + pB2 + 2 pA·pB
متغیر t :
t = (pA − pC)2
t = pA2 + pC2 − 2 pA·pC
متغیر u :
u = (pA − pD)2
u = pA2 + pD2 − 2 pA·pD
اکنون اگر این سه رابطه را با هم جمع کنیم و از پایستگی چهار-تکانه استفاده کنیم،
تمام جمله‌های ضرب داخلی حذف می‌شوند.
در نتیجه به رابطه بسیار مهم زیر می‌رسیم:
s + t + u = mA2 + mB2 + mC2 + mD2
تفسیر فیزیکی
این رابطه نشان می‌دهد که سه متغیر
s،
t
و
u
کاملاً مستقل نیستند.
اگر مقدار
s
مشخص باشد، آنگاه
t
و
u
دیگر آزادانه تغییر نمی‌کنند و باید این رابطه را ارضا کنند.
به همین دلیل در بسیاری از مسائل پراکندگی، معمولاً فقط دو پارامتر مستقل داریم:
- انرژی برخورد (که با s مشخص می‌شود)
- زاویه پراکندگی در دستگاه مرکز جرم
بنابراین این رابطه ساده در واقع یکی از نتایج مهم پایستگی چهار-تکانه در برخوردهای نسبیتی است.
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.