ریاضیات

تحلیل و اثبات گام‌به‌گام واپاشی دو بدنه (A → B + C)

این مسئله مربوط به واپاشی دو بدنه در نسبیت خاص است. ذره A در حال سکون است، پس تکانه‌ی اولیه آن صفر و انرژی آن برابر با انرژی سکونش (E_A = m_Ac²) است.

قسمت (الف): یافتن انرژی ذرات خروجی (E_B)

هدف اثبات رابطه زیر است:

مراحل اثبات:

1. طبق بقای انرژی: E_A = E_B + E_C ⇒ m_Ac² = E_B + E_C ⇒ E_C = m_Ac² - E_B
2. طبق بقای تکانه: چون ذره اولیه ساکن است، تکانه‌های خروجی قرینه‌اند: |p_B| = |p_C| = p
3. از رابطه انرژی-تکانه نسبیتی: (pc)² = E² - (mc²)². پس داریم:
   

   (pc)² = E_B² - (m_Bc²)² = E_C² - (m_Cc²)²

4. جایگذاری E_C از مرحله اول:
   

   E_B² - m_B²c⁴ = (m_Ac² - E_B)² - m_C²c⁴

5. ساده‌سازی طرفین:
   

   E_B² - m_B²c⁴ = m_A²c⁴ - 2m_Ac²E_B + E_B² - m_C²c⁴

6. با حذف E_B² از طرفین و حل معادله برای E_B:
   

   2m_Ac²E_B = m_A²c⁴ + m_B²c⁴ - m_C²c⁴

قسمت (ب): یافتن اندازه تکانه‌ی خروجی (|p_B|)

هدف اثبات رابطه تکانه برحسب تابع مثلثی (λ) است:

مراحل اثبات:

1. استفاده از رابطه تکانه: p²c² = E_B² - m_B²c⁴
2. جایگذاری مقدار E_B که در مرحله قبل به دست آمد:
   

   p²c² = [ (m_A² + m_B² - m_C²) / (2m_A) ]² c⁴ - m_B²c⁴

3. مخرج مشترک‌گیری و استفاده از اتحاد مزدوج در صورت کسر:
   

   p² = [ (m_A² + m_B² - m_C²)² - (2m_Am_B)² ] × c² / (4m_A²)

4. صورت کسر دقیقاً همان بازشده‌ی تابع مثلثی λ است:
   

   λ(x,y,z) = x² + y² + z² - 2xy - 2xz - 2yz

5. با جذر گرفتن از طرفین، فرمول نهایی تکانه به دست می‌آید.

نتیجه فیزیکی: این تکانه نشان‌دهنده‌ی شدتی است که ذرات B و C در جهت مخالف هم پرتاب می‌شوند. اگر جرم اولیه (m_A) دقیقاً برابر مجموع جرم محصولات باشد، تکانه صفر شده و ذرات ساکن می‌مانند.