## الگوریتم حل بخش الف با روش وردشی
هدف: محاسبه انرژی حالت پایه نوسانگر هماهنگ سهبعدی برای تابع آزمون
ψ(r) = 4 r³ e-βr
---
## الگوریتم کلی
### گام ۱: مشخص کردن دادهها
دادههای مسئله:
m = 4
n = 3
تابع آزمون:
ψ(r) = m rn e-βr
پس:
ψ(r) = 4 r3 e-βr
---
### گام ۲: نوشتن هامیلتونی نوسانگر هماهنگ سهبعدی
هامیلتونی برابر است با:
H = -(ℏ2 / 2μ) ∇² + (1/2) μω²r²
انرژی وردشی:
E(β) = <ψ|H|ψ> / <ψ|ψ>
یا:
E(β) = <T> + <V>
---
### گام ۳: محاسبه نرمالسازی
چون تابع فقط به \(r\) وابسته است، در مختصات کروی داریم:
d³r = 4πr²dr
ابتدا محاسبه میکنیم:
<ψ|ψ> = ∫ |ψ|² d³r
برای تابع موج دادهشده:
|ψ|² = 16 r⁶ e-2βr
پس:
<ψ|ψ> = 64π ∫₀∞ r⁸ e-2βr dr
با استفاده از رابطه:
∫₀∞ rp e-ar dr = p! / ap+1
نتیجه:
<ψ|ψ> = 64π × 8! / (2β)9
---
### گام ۴: محاسبه انرژی پتانسیل
پتانسیل نوسانگر هماهنگ:
V(r) = (1/2) μω²r²
پس:
<V> = [∫ |ψ|² V(r) d³r] / [∫ |ψ|² d³r]
بعد از جایگذاری و سادهسازی:
<V> = 45 μω² / (4β²)
---
### گام ۵: محاسبه انرژی جنبشی
برای تابع حقیقی و شعاعی:
<T> = (ℏ² / 2μ) [∫ |∇ψ|² d³r / ∫ |ψ|² d³r]
چون تابع فقط به \(r\) وابسته است:
|∇ψ|² = (dψ/dr)²
مشتق تابع موج:
ψ(r) = 4r³e-βr
dψ/dr = 4r²e-βr(3 - βr)
پس:
(dψ/dr)² = 16r⁴e-2βr(3 - βr)²
بعد از انتگرالگیری:
<T> = ℏ²β² / (14μ)
---
### گام ۶: تشکیل انرژی کل
انرژی کل وردشی:
E(β) = <T> + <V>
پس:
E(β) = ℏ²β² / (14μ) + 45μω² / (4β²)
---
### گام ۷: کمینهسازی انرژی نسبت به β
برای یافتن بهترین مقدار \(\beta\)، مشتق انرژی را صفر میکنیم:
dE/dβ = 0
مشتق انرژی:
dE/dβ = (ℏ²β / 7μ) - 45μω² / (2β³)
شرط کمینه:
(ℏ²β / 7μ) = 45μω² / (2β³)
پس:
β⁴ = 315μ²ω² / (2ℏ²)
بنابراین:
βopt = (315/2)1/4 (μω/ℏ)1/2
---
### گام ۸: محاسبه انرژی کمینه
انرژی به شکل زیر است:
E(β) = Aβ² + B/β²
در نقطه کمینه:
Emin = 2√(AB)
که در اینجا:
A = ℏ² / (14μ)
B = 45μω² / 4
پس:
Emin = ℏω √(45/14)
یا عددی:
Emin ≈ 1.793 ℏω
---
# شبهکد الگوریتم
```text
شروع
ورودی:
m = 4
n = 3
تعریف تابع آزمون:
ψ(r) = 4 r^3 exp(-βr)
تعریف هامیلتونی:
H = -hbar^2/(2μ) ∇^2 + 1/2 μω^2 r^2
محاسبه نرمالسازی:
N = ∫ |ψ|^2 d^3r
محاسبه انرژی پتانسیل:
V_avg = ∫ |ψ|^2 V(r) d^3r / N
محاسبه انرژی جنبشی:
T_avg = (hbar^2/2μ) ∫ |∇ψ|^2 d^3r / N
تشکیل انرژی کل:
E(β) = T_avg + V_avg
جایگذاری نتایج:
E(β) = hbar^2 β^2/(14μ) + 45 μω^2/(4β^2)
کمینهسازی:
مشتق E نسبت به β را حساب کن
dE/dβ = 0 قرار بده
حل برای β:
β_opt = (315/2)^(1/4) (μω/hbar)^(1/2)
جایگذاری β_opt در انرژی:
E_min = hbarω sqrt(45/14)
خروجی:
β_opt = (315/2)^(1/4) (μω/hbar)^(1/2)
E_min ≈ 1.793 hbarω
پایان
```
---
## خلاصه الگوریتم در یک نگاه
```text
تابع آزمون را بنویس
↓
نرمالسازی را حساب کن
↓
انرژی جنبشی را حساب کن
↓
انرژی پتانسیل را حساب کن
↓
E(β) =
↓
از E نسبت به β مشتق بگیر
↓
dE/dβ = 0 قرار بده
↓
β_opt را پیدا کن
↓
β_opt را در E جایگذاری کن
↓
انرژی حالت پایه وردشی بهدست میآید
```
نتیجه نهایی:
E0(var) = ℏω √(45/14) ≈ 1.793 ℏω
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.