فرمول عمومی تابع‌های موج اتم هیدروژن
تابع موج اتم هیدروژن از حل معادله شرودینگر در پتانسیل کولنی به دست می‌آید.
این تابع موج به سه عدد کوانتومی وابسته است و به صورت ضرب تابع شعاعی
و تابع زاویه‌ای نوشته می‌شود.
فرمول عمومی تابع موج
ψ(n,l,m)(r,θ,φ) = R(n,l)(r) Y(l,m)(θ,φ)
که در آن:
- n عدد کوانتومی اصلی
- l عدد کوانتومی تکانه زاویه‌ای
- m عدد کوانتومی مغناطیسی
فرمول عمومی بخش شعاعی
تابع شعاعی به صورت زیر نوشته می‌شود:
R(n,l)(r) =
√[(2/(n a₀))³ ( (n-l-1)! / (2n (n+l)! ) )]
e^(−r/(n a₀))
(2r/(n a₀))^l
L(n-l-1)^(2l+1)(2r/(n a₀))
که در آن:
- L چندجمله‌ای لاگور تعمیم‌یافته
- a₀ شعاع بوهر
شعاع بوهر
a₀ = 4π ε₀ ℏ² / (m e²)
a₀ = 0.529 × 10⁻¹⁰ m
بخش زاویه‌ای (هارمونیک‌های کروی)
Y(l,m)(θ,φ)
نمونه‌هایی از هارمونیک‌های کروی:
Y₀⁰ = 1 / √(4π)
Y₁⁰ = √(3 / 4π) cosθ
مثال ۱: حالت پایه
برای حالت پایه:
n = 1 , l = 0 , m = 0
تابع موج:
ψ₁₀₀ = (1 / √π a₀³) e^(−r/a₀)
مثال ۲: حالت 2s
برای حالت:
n = 2 , l = 0 , m = 0
تابع موج:
ψ₂₀₀ =
(1 / 4√2π a₀³)
(2 − r/a₀)
e^(−r/2a₀)
مثال ۳: حالت 2p
برای حالت:
n = 2 , l = 1 , m = 0
تابع موج:
ψ₂₁₀ =
(1 / 4√2π a₀³)
(r/a₀)
e^(−r/2a₀)
cosθ
مثال ۴: محاسبه چگالی احتمال
چگالی احتمال از رابطه زیر به دست می‌آید:
P = |ψ|²
برای حالت پایه:
P = (1 / π a₀³) e^(−2r/a₀)
جمع‌بندی
تابع موج اتم هیدروژن به صورت کلی حاصل ضرب بخش شعاعی و بخش زاویه‌ای است.
این توابع به سه عدد کوانتومی وابسته هستند و با استفاده از آنها می‌توان
چگالی احتمال حضور الکترون در فضای اطراف هسته را محاسبه کرد.
این روابط پایه بسیاری از مباحث مکانیک کوانتومی و فیزیک اتمی هستند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.