:::writing
انرژی حالت پایه و حالتهای برانگیخته اتم هلیوم
اتم هلیوم دارای دو الکترون است که در میدان الکتریکی هسته با بار +2e حرکت میکنند. به دلیل برهمکنش بین دو الکترون، حل دقیق معادله شرودینگر برای این سیستم دشوار است و معمولاً از روشهای تقریبی استفاده میشود.
۱. هامیلتونی اتم هلیوم
هامیلتونی سیستم شامل انرژی جنبشی دو الکترون و انرژی پتانسیل کولنی آنها با هسته و همچنین برهمکنش بین دو الکترون است:
H = - (ħ² / 2m) ∇₁² - (ħ² / 2m) ∇₂² - (2e² / 4πϵ₀ r₁) - (2e² / 4πϵ₀ r₂) + (e² / 4πϵ₀ r₁₂)
که در آن:
- r₁ و r₂ فاصله هر الکترون از هسته هستند.
- r₁₂ فاصله بین دو الکترون است.
۲. تقریب بدون برهمکنش الکترونها
اگر برهمکنش بین دو الکترون نادیده گرفته شود، هر الکترون مانند الکترون در اتم هیدروژن با بار هسته Z=2 رفتار میکند.
انرژی ترازها به صورت زیر خواهد بود:
E_n = - ( Z² × 13.6 eV ) / n²
برای هلیوم:
Z = 2
۳. انرژی حالت پایه
در حالت پایه هر دو الکترون در تراز n=1 قرار دارند.
انرژی هر الکترون:
E₁ = - (2² × 13.6) / 1²
E₁ = -54.4 eV
چون دو الکترون وجود دارد:
E ≈ -108.8 eV
اما به دلیل دافعه بین الکترونها مقدار واقعی انرژی حالت پایه تقریباً برابر است با:
E₀ ≈ -79 eV
۴. حالتهای برانگیخته
اگر یکی از الکترونها به تراز بالاتر برود، اتم در حالت برانگیخته قرار میگیرد.
مثلاً اگر یکی از الکترونها در تراز n=2 باشد:
E₂ = - (4 × 13.6) / 4
E₂ = -13.6 eV
انرژی کل تقریباً برابر میشود با:
E ≈ -54.4 - 13.6
E ≈ -68 eV
۵. مثال عددی
اگر یکی از الکترونها در حالت پایه و دیگری در تراز سوم باشد، انرژی تقریبی سیستم را پیدا کنید.
حل
انرژی تراز سوم:
E₃ = - (4 × 13.6) / 9
E₃ ≈ -6.04 eV
انرژی کل:
E ≈ -54.4 - 6.04
E ≈ -60.44 eV
بنابراین انرژی این حالت برانگیخته حدود 60 الکترون ولت منفی است.
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.