مثال‌های دیگر برای فشار تباهیدگی و مدول کپه‌ای
در این بخش چند مثال عددی دیگر برای محاسبه فشار تباهیدگی و مدول کپه‌ای در فلزها ارائه می‌کنیم.
برای گاز الکترونی آزاد در دمای صفر از روابط زیر استفاده می‌کنیم:
EF = (ℏ2 / 2m) (3π2n)2/3
P = (2/5) n EF
B = (5/3) P
ثابت‌ها:
ℏ = 1.054 × 10-34 J.s
m = 9.109 × 10-31 kg
1 eV = 1.602 × 10-19 J
مثال ۱: سدیم
چگالی الکترونی سدیم را برابر می‌گیریم با:
n = 2.65 × 1028 m-3
انرژی فرمی سدیم تقریباً برابر است با:
EF ≈ 3.23 eV
ابتدا آن را به ژول تبدیل می‌کنیم:
EF = 3.23 × 1.602 × 10-19
EF ≈ 5.17 × 10-19 J
اکنون فشار تباهیدگی:
P = (2/5) n EF
P = (2/5) (2.65 × 1028) (5.17 × 10-19)
P ≈ 5.48 × 109 Pa
حال مدول کپه‌ای:
B = (5/3) P
B ≈ 9.13 × 109 Pa
مثال ۲: نقره
برای نقره:
n = 5.86 × 1028 m-3
EF ≈ 5.5 eV
تبدیل انرژی فرمی به ژول:
EF = 5.5 × 1.602 × 10-19
EF ≈ 8.81 × 10-19 J
فشار تباهیدگی:
P = (2/5) (5.86 × 1028) (8.81 × 10-19)
P ≈ 2.07 × 1010 Pa
مدول کپه‌ای:
B = (5/3) P ≈ 3.45 × 1010 Pa
مثال ۳: طلا
برای طلا داریم:
n = 5.90 × 1028 m-3
EF ≈ 5.5 eV
پس:
EF ≈ 8.81 × 10-19 J
P = (2/5) (5.90 × 1028) (8.81 × 10-19)
P ≈ 2.08 × 1010 Pa
B ≈ 3.47 × 1010 Pa
مثال ۴: آلومینیوم
برای آلومینیوم:
n = 18.1 × 1028 m-3
EF ≈ 11.7 eV
تبدیل به ژول:
EF = 11.7 × 1.602 × 10-19
EF ≈ 1.87 × 10-18 J
فشار تباهیدگی:
P = (2/5) (18.1 × 1028) (1.87 × 10-18)
P ≈ 1.35 × 1011 Pa
مدول کپه‌ای:
B ≈ 2.25 × 1011 Pa
مثال ۵: نمونه دلخواه با تعداد الکترون و حجم
فرض کنید در یک نمونه فلزی داریم:
N = 4.0 × 1022
V = 8.0 × 10-7 m3
ابتدا چگالی الکترونی:
n = N / V
n = (4.0 × 1022) / (8.0 × 10-7)
n = 5.0 × 1028 m-3
اگر انرژی فرمی متناظر تقریباً برابر 5.0 eV باشد، داریم:
EF = 5.0 × 1.602 × 10-19
EF ≈ 8.01 × 10-19 J
فشار تباهیدگی:
P = (2/5) (5.0 × 1028) (8.01 × 10-19)
P ≈ 1.60 × 1010 Pa
مدول کپه‌ای:
B ≈ 2.67 × 1010 Pa
جدول خلاصه مثال‌ها
| ماده | چگالی الکترونی | انرژی فرمی | فشار تباهیدگی | مدول کپه‌ای |
|---|---|---|---|---|
| سدیم | 2.65 × 1028 | 3.23 eV | 5.48 × 109 Pa | 9.13 × 109 Pa |
| نقره | 5.86 × 1028 | 5.5 eV | 2.07 × 1010 Pa | 3.45 × 1010 Pa |
| طلا | 5.90 × 1028 | 5.5 eV | 2.08 × 1010 Pa | 3.47 × 1010 Pa |
| آلومینیوم | 18.1 × 1028 | 11.7 eV | 1.35 × 1011 Pa | 2.25 × 1011 Pa |
| نمونه دلخواه | 5.0 × 1028 | 5.0 eV | 1.60 × 1010 Pa | 2.67 × 1010 Pa |
جمع‌بندی
همان‌طور که از مثال‌ها دیده می‌شود، هرچه چگالی الکترونی و انرژی فرمی بیشتر باشد،
فشار تباهیدگی نیز بیشتر می‌شود. همچنین چون:
B = (5/3) P
بنابراین مدول کپه‌ای نیز مستقیماً با فشار تباهیدگی مرتبط است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.