مثالهای بیشتر از محاسبه انرژی فرمی
در این بخش چند مثال عددی دیگر برای محاسبه انرژی فرمی ارائه میشود. در همه مثالها از مدل گاز الکترونی آزاد سهبعدی استفاده میکنیم:
EF =
(ℏ2 / 2m)
(3π2n)2/3
همچنین:
kF = (3π2n)1/3
ثابتهای مورد استفاده:
ℏ = 1.054 × 10-34 J.s
m = 9.109 × 10-31 kg
1 eV = 1.602 × 10-19 J
مثال ۱: فلز سدیم
چگالی الکترونی سدیم را تقریباً برابر میگیریم با:
n = 2.65 × 1028 m-3
مرحله اول: محاسبه عدد موج فرمی
kF =
(3π2 × 2.65 × 1028)1/3
نتیجه تقریبی:
kF ≈ 9.22 × 109 m-1
مرحله دوم: محاسبه انرژی فرمی
EF =
ℏ2 kF2 / 2m
نتیجه بر حسب ژول:
EF ≈ 5.18 × 10-19 J
تبدیل به الکترونولت:
EF ≈ 3.23 eV
مثال ۲: فلز نقره
چگالی الکترونی نقره را تقریباً برابر فرض میکنیم با:
n = 5.86 × 1028 m-3
محاسبه عدد موج فرمی
kF =
(3π2 × 5.86 × 1028)1/3
نتیجه:
kF ≈ 1.20 × 1010 m-1
محاسبه انرژی فرمی
EF =
ℏ2 kF2 / 2m
نتیجه تقریبی:
EF ≈ 5.5 eV
مثال ۳: طلا
برای طلا، چگالی الکترونی را تقریباً برابر میگیریم با:
n = 5.90 × 1028 m-3
عدد موج فرمی
kF =
(3π2 × 5.90 × 1028)1/3
نتیجه:
kF ≈ 1.20 × 1010 m-1
انرژی فرمی
EF ≈ 5.5 eV
عدد بهدستآمده برای طلا به نقره نزدیک است، زیرا چگالی الکترونی مؤثر آنها در مدل ساده الکترون آزاد تقریباً نزدیک است.
مثال ۴: آلومینیوم
آلومینیوم معمولاً سه الکترون رسانش برای هر اتم دارد. چگالی الکترونی تقریبی آن را به صورت زیر در نظر میگیریم:
n = 18.1 × 1028 m-3
محاسبه عدد موج فرمی
kF =
(3π2 × 18.1 × 1028)1/3
نتیجه تقریبی:
kF ≈ 1.75 × 1010 m-1
انرژی فرمی
EF ≈ 11.7 eV
انرژی فرمی آلومینیوم از مس، سدیم و نقره بزرگتر است، چون چگالی الکترونهای رسانش آن بیشتر است.
مثال ۵: محاسبه انرژی فرمی از تعداد الکترون و حجم
فرض کنید تعداد الکترونهای رسانش در یک نمونه برابر باشد با:
N = 5.0 × 1022
و حجم نمونه:
V = 1.0 × 10-6 m3
مرحله اول: محاسبه چگالی الکترونی
n = N / V
پس:
n =
(5.0 × 1022)
/
(1.0 × 10-6)
در نتیجه:
n = 5.0 × 1028 m-3
مرحله دوم: محاسبه عدد موج فرمی
kF =
(3π2 × 5.0 × 1028)1/3
نتیجه تقریبی:
kF ≈ 1.14 × 1010 m-1
مرحله سوم: محاسبه انرژی فرمی
EF ≈ 5.0 eV
مثال ۶: مقایسه اثر چگالی الکترونی بر انرژی فرمی
در این مثال میخواهیم ببینیم اگر چگالی الکترونی تغییر کند، انرژی فرمی چگونه تغییر میکند.
از رابطه زیر استفاده میکنیم:
EF ∝ n2/3
اگر چگالی الکترونی ۸ برابر شود:
n2 = 8n1
آنگاه:
EF2 / EF1
=
(n2 / n1)2/3
پس:
EF2 / EF1
=
82/3 = 4
بنابراین اگر چگالی الکترونی ۸ برابر شود، انرژی فرمی ۴ برابر میشود.
مثال ۷: محاسبه دمای فرمی برای سدیم
در مثال سدیم انرژی فرمی را تقریباً به دست آوردیم:
EF ≈ 5.18 × 10-19 J
دمای فرمی از رابطه زیر محاسبه میشود:
TF = EF / kB
که:
kB = 1.381 × 10-23 J/K
پس:
TF =
(5.18 × 10-19)
/
(1.381 × 10-23)
نتیجه:
TF ≈ 3.75 × 104 K
جدول مقایسه چند فلز
| فلز | چگالی الکترونی تقریبی | انرژی فرمی تقریبی |
|---|---|---|
| سدیم | 2.65 × 1028 m-3 | 3.23 eV |
| مس | 8.5 × 1028 m-3 | 7.0 eV |
| نقره | 5.86 × 1028 m-3 | 5.5 eV |
| طلا | 5.90 × 1028 m-3 | 5.5 eV |
| آلومینیوم | 18.1 × 1028 m-3 | 11.7 eV |
جمعبندی مثالها
از مثالهای بالا میبینیم که انرژی فرمی به شدت به چگالی الکترونی وابسته است.
هرچه چگالی الکترونهای رسانش بیشتر باشد، عدد موج فرمی و انرژی فرمی نیز بزرگتر میشوند.
رابطه اصلی این وابستگی به صورت زیر است:
EF ∝ n2/3
بنابراین افزایش چگالی الکترونی باعث افزایش انرژی فرمی میشود، اما این افزایش خطی نیست؛ بلکه با توان 2/3 انجام میشود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.