ریاضیات

محاسبه انرژی فرمی در کوانتوم؛ الگوریتم و مثال

در مکانیک کوانتومی و فیزیک حالت جامد، انرژی فرمی یکی از کمیت‌های بسیار مهم برای توصیف رفتار الکترون‌ها در فلزات، نیمه‌رساناها و گاز الکترونی است.
انرژی فرمی معمولاً با نماد E_F نمایش داده می‌شود.

در دمای صفر مطلق، یعنی T = 0 K، انرژی فرمی برابر است با بیشترین انرژی اشغال‌شده توسط الکترون‌ها.
به بیان ساده‌تر، در دمای صفر، تمام حالت‌های انرژی تا انرژی فرمی پر هستند و حالت‌های بالاتر خالی‌اند.

۱. تعریف انرژی فرمی

طبق اصل طرد پائولی، هر حالت کوانتومی حداکثر می‌تواند توسط دو الکترون با اسپین مخالف اشغال شود.
بنابراین الکترون‌ها از پایین‌ترین ترازهای انرژی شروع به پر کردن حالت‌ها می‌کنند.
بالاترین انرژی اشغال‌شده در دمای صفر را انرژی فرمی می‌نامند.

در گاز الکترونی آزاد سه‌بعدی، انرژی فرمی از رابطه زیر به دست می‌آید:

که در آن:

• E_F: انرژی فرمی


• ℏ: ثابت پلانک کاهش‌یافته


• m: جرم الکترون


• n: چگالی تعداد الکترون‌ها

۲. چگالی تعداد الکترون‌ها

برای محاسبه انرژی فرمی، ابتدا باید چگالی الکترونی را بدانیم.
چگالی تعداد الکترون‌ها برابر است با تعداد الکترون‌ها در واحد حجم:

که در آن:

• N: تعداد کل الکترون‌ها


• V: حجم نمونه


• n: چگالی الکترونی بر حسب m^-3

۳. عدد موج فرمی

در بسیاری از حل‌های کوانتومی، ابتدا عدد موج فرمی محاسبه می‌شود.
عدد موج فرمی را با k_F نشان می‌دهند.

سپس انرژی فرمی از رابطه زیر به دست می‌آید:

اگر رابطه عدد موج فرمی را در رابطه بالا قرار دهیم، دوباره به فرمول مستقیم انرژی فرمی می‌رسیم:

۴. الگوریتم محاسبه انرژی فرمی

برای محاسبه انرژی فرمی در مدل گاز الکترونی آزاد سه‌بعدی، می‌توان مراحل زیر را دنبال کرد.

الگوریتم مرحله‌به‌مرحله

1. 
   تعداد کل الکترون‌ها N و حجم نمونه V را مشخص کنید.
   
2. 
   چگالی الکترونی را محاسبه کنید:
   
   
   n = N / V
   
   
   
3. 
   عدد موج فرمی را به دست آورید:
   
   
   k_F = (3π² n)^1/3
   
   
   
4. 
   انرژی فرمی را محاسبه کنید:
   
   
   E_F = ℏ² k_F² / 2m
   
   
   
5. 
   اگر انرژی بر حسب ژول به دست آمد، آن را به الکترون‌ولت تبدیل کنید:
   
   
   E(eV) = E(J) / (1.602 × 10^-19)
   
   
   

۵. الگوریتم به صورت شبه‌کد

شبه‌کد زیر روش محاسبه انرژی فرمی را نشان می‌دهد:

Input: N, V
Constants:
hbar = 1.054e-34
m = 9.109e-31
e = 1.602e-19
Step 1: n = N / V
Step 2: kF = (3 * pi^2 * n)^(1/3)
Step 3: EF_J = (hbar^2 * kF^2) / (2 * m)
Step 4: EF_eV = EF_J / e
Output: EF_J, EF_eV

۶. کد ساده پایتون برای محاسبه انرژی فرمی

کد زیر انرژی فرمی را برای چگالی الکترونی داده‌شده محاسبه می‌کند.

import math
hbar = 1.054e-34       # J.s
m = 9.109e-31          # kg
e = 1.602e-19          # C
n = 8.5e28             # electron density in m^-3
kF = (3 * math.pi**2 * n)**(1/3)
EF_J = (hbar**2 * kF**2) / (2 * m)
EF_eV = EF_J / e
print("kF =", kF, "1/m")
print("EF =", EF_J, "J")
print("EF =", EF_eV, "eV")

۷. مثال عددی: محاسبه انرژی فرمی برای فلز مس

فرض کنید چگالی الکترونی فلز مس تقریباً برابر باشد با:

ثابت‌ها:

مرحله اول: محاسبه عدد موج فرمی

با جایگذاری عددی:

نتیجه تقریبی:

مرحله دوم: محاسبه انرژی فرمی بر حسب ژول

با جایگذاری:

نتیجه تقریبی:

مرحله سوم: تبدیل ژول به الکترون‌ولت

پس:

نتیجه نهایی:

بنابراین انرژی فرمی فلز مس در مدل گاز الکترونی آزاد تقریباً برابر است با:

۸. دمای فرمی

گاهی به جای انرژی فرمی، از دمای فرمی نیز استفاده می‌شود.
دمای فرمی از رابطه زیر به دست می‌آید:

که در آن k_B ثابت بولتزمن است:

برای مس با انرژی فرمی تقریبی:

داریم:

این مقدار بسیار بزرگ‌تر از دمای اتاق است. به همین دلیل، الکترون‌های رسانش در فلزات حتی در دمای معمولی نیز رفتار کوانتومی قابل توجهی دارند.

۹. نکته درباره دماهای بالاتر از صفر

در دمای صفر، تمام حالت‌های انرژی پایین‌تر از انرژی فرمی پر و حالت‌های بالاتر خالی هستند.
اما در دمای غیرصفر، توزیع الکترون‌ها با تابع فرمی-دیراک تعیین می‌شود:

در این رابطه:

• f(E): احتمال اشغال حالت با انرژی E


• T: دمای مطلق


• k_B: ثابت بولتزمن


• E_F: انرژی فرمی یا تقریباً پتانسیل شیمیایی در دماهای پایین

۱۰. خلاصه روابط مهم

۱۱. جمع‌بندی

برای محاسبه انرژی فرمی در مدل گاز الکترونی آزاد، ابتدا چگالی الکترونی را محاسبه می‌کنیم، سپس عدد موج فرمی را به دست می‌آوریم و در نهایت انرژی فرمی را از رابطه کوانتومی انرژی جنبشی محاسبه می‌کنیم.

این رابطه یکی از روابط پایه‌ای در فیزیک حالت جامد و نظریه الکترون‌های آزاد در فلزات است.