ریاضیات

الگوریتم سریع حل مسائل ترازهای لانداو و اثر هال کوانتومی

۱. الگوریتم حل مسائل ترازهای لانداو

برای حل بیشتر مسائل مربوط به حرکت الکترون در میدان مغناطیسی و ترازهای لانداو می‌توان مراحل زیر را دنبال کرد:

1. ابتدا میدان مغناطیسی داده شده را مشخص کنید:

B = (0 , 0 , B)

2. یک پیمانه مناسب برای پتانسیل برداری انتخاب کنید. معمولاً از پیمانه لانداو استفاده می‌شود:

A = (0 , Bx , 0)

3. هامیلتونی الکترون در میدان مغناطیسی را بنویسید:

H = (1 / 2m)( -iħ∇ − eA )²

4. پتانسیل برداری را در هامیلتونی قرار دهید:

H = (1 / 2m)[ p_x² + (p_y − eBx)² + p_z² ]

5. به دلیل ناوردایی سیستم در راستای y تابع موج را به صورت زیر در نظر می‌گیریم:

ψ = e^ik_yy φ(x)

6. معادله شرودینگر به معادله نوسانگر هماهنگ تبدیل می‌شود.

7. انرژی‌های مجاز سیستم به صورت زیر به دست می‌آیند:

E_n = ħω_c( n + 1/2 )

8. فرکانس سیکلوترون:

ω_c = eB / m

۲. الگوریتم حل مسائل اثر هال کوانتومی

برای حل تمرین‌های مربوط به اثر هال کوانتومی می‌توان از مراحل زیر استفاده کرد:

1. محاسبه فرکانس سیکلوترون:

ω_c = eB / m

2. محاسبه انرژی ترازهای لانداو:

E_n = ħω_c(n + 1/2)

3. محاسبه چگالی حالت‌ها در هر تراز:

N = eB / h

4. محاسبه عدد پرشدگی:

ν = n h / (eB)

5. محاسبه مقاومت هال کوانتیده:

R_H = h / (ν e²)

6. بررسی شرط مشاهده اثر هال کوانتومی:

ħω_c ≫ kT

بنابراین برای بیشتر مسائل این مبحث کافی است ابتدا ترازهای لانداو را محاسبه کرده، سپس از چگالی حالت‌ها و عدد پرشدگی برای به دست آوردن مقاومت هال استفاده کنیم.