:::writing
چند مسئله دربارهٔ اثر هال کوانتومی (با حل)
مسئله ۱: مقاومت هال کوانتیده
در اثر هال کوانتومی مقاومت هال به صورت زیر کوانتیده می‌شود:
RH = h / (ν e²)
که در آن ν عدد صحیح (عدد پرشدگی) است. اگر ν = 2 باشد، مقدار مقاومت هال را محاسبه کنید.
داده‌ها:
h = 6.63 × 10⁻³⁴ J·s
e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C
حل
ابتدا مقدار پایه مقاومت کوانتومی را حساب می‌کنیم:
h / e² ≈ 25812 Ω
پس:
RH = 25812 / 2
RH ≈ 12906 Ω
مسئله ۲: عدد پرشدگی
عدد پرشدگی از رابطه زیر به دست می‌آید:
ν = n h / (eB)
اگر چگالی الکترون برابر باشد با:
n = 3 × 10¹⁵ m⁻²
و میدان مغناطیسی:
B = 5 T
عدد پرشدگی را حساب کنید.
حل
ν = ( n h ) / ( eB )
ν = (3×10¹⁵ × 6.63×10⁻³⁴) / (1.6×10⁻¹⁹ × 5)
ν ≈ 2.5
بنابراین حدود دو تراز لانداو پر شده‌اند.
مسئله ۳: چگالی حالات در هر تراز لانداو
نشان دهید تعداد حالت‌ها در هر تراز لانداو در واحد سطح برابر است با:
N = eB / h
حل
در میدان مغناطیسی هر حالت کوانتومی یک شار مغناطیسی کوانتیده اشغال می‌کند:
Φ0 = h / e
اگر شار کل میدان مغناطیسی در واحد سطح باشد:
Φ = B
تعداد حالت‌ها برابر است با:
N = Φ / Φ0
N = B / (h/e)
N = eB / h
مسئله ۴: انرژی تراز لانداو
برای میدان مغناطیسی:
B = 4 T
انرژی اولین تراز لانداو (n=0) را حساب کنید.
رابطه انرژی:
En = ħωc(n + 1/2)
و:
ωc = eB / m
حل
ωc = (1.6×10⁻¹⁹ × 4) / (9.11×10⁻³¹)
ωc ≈ 7.0 × 10¹¹ rad/s
پس:
E0 = (1/2) ħωc
E0 ≈ 3.7 × 10⁻²³ J
مسئله ۵: شرط مشاهده اثر هال کوانتومی
چرا اثر هال کوانتومی در دماهای پایین و میدان‌های مغناطیسی قوی مشاهده می‌شود؟
حل
میدان مغناطیسی قوی باعث می‌شود انرژی‌ها به ترازهای لانداو کوانتیده شوند:
En = ħωc(n + 1/2)
اگر دما بالا باشد، انرژی حرارتی
kT
می‌تواند این ترازها را مخلوط کند. بنابراین برای مشاهده واضح ترازهای لانداو باید:
ħωc ≫ kT
به همین دلیل آزمایش‌های اثر هال کوانتومی معمولاً در میدان‌های مغناطیسی قوی و دماهای بسیار پایین انجام می‌شوند.
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.