:::writing
چند مسئله دربارهٔ ترازهای لانداو (با حل)
مسئله ۱: محاسبه ترازهای انرژی لانداو
یک الکترون در میدان مغناطیسی یکنواخت در راستای محور z قرار دارد:
B = (0 , 0 , B)
نشان دهید انرژی‌های مجاز الکترون به صورت زیر کوانتیده می‌شوند.
En = ħωc( n + 1/2 )
که در آن:
ωc = eB / m
حل
هامیلتونی الکترون در میدان مغناطیسی:
H = (1 / 2m)( -iħ∇ − eA )²
در پیمانه لانداو پتانسیل برداری را می‌گیریم:
A = (0 , Bx , 0)
در این صورت هامیلتونی به شکل زیر درمی‌آید:
H = (1 / 2m)[ px² + (py − eBx)² + pz² ]
چون سیستم در راستای y ناوردا است، می‌توان نوشت:
ψ ∝ eikyy
در نتیجه معادله به معادله نوسانگر هماهنگ تبدیل می‌شود و انرژی‌ها به صورت زیر به دست می‌آیند:
En = ħωc( n + 1/2 )
مسئله ۲: فاصله بین ترازهای لانداو
نشان دهید فاصله انرژی بین دو تراز متوالی برابر است با:
ΔE = ħωc
حل
انرژی‌ها:
En = ħωc(n + 1/2)
برای دو تراز متوالی:
En+1 = ħωc(n + 3/2)
اختلاف:
ΔE = En+1 − En
ΔE = ħωc
بنابراین فاصله بین همه ترازهای لانداو ثابت است.
مسئله ۳: محاسبه فرکانس سیکلوترون
اگر میدان مغناطیسی برابر باشد با:
B = 2 T
فرکانس سیکلوترون الکترون را محاسبه کنید.
داده‌ها:
e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C
m = 9.11 × 10⁻³¹ kg
حل
فرکانس سیکلوترون:
ωc = eB / m
جایگذاری:
ωc = (1.6×10⁻¹⁹ × 2) / (9.11×10⁻³¹)
ωc ≈ 3.5 × 10¹¹ rad/s
مسئله ۴: انرژی تراز پایه
انرژی تراز پایه لانداو را پیدا کنید.
حل
برای n=0:
E0 = (1/2) ħωc
بنابراین حتی در پایین‌ترین حالت نیز انرژی صفر نیست و دارای انرژی نقطه صفر است.
مسئله ۵: حرکت در راستای میدان
نشان دهید اگر حرکت در راستای z نیز در نظر گرفته شود انرژی کل به صورت زیر خواهد بود:
E = ħωc(n + 1/2) + pz² / 2m
حل
در هامیلتونی میدان مغناطیسی جمله مربوط به z مستقل است:
H = HLandau + pz² / 2m
بنابراین انرژی کل جمع انرژی لانداو و انرژی جنبشی در راستای z خواهد بود:
E = ħωc(n + 1/2) + pz² / 2m
پس حرکت در صفحه عمود بر میدان کوانتیده است ولی در راستای میدان آزاد باقی می‌ماند.
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.