:::writing
چند مسئله دربارهٔ الکترون در میدان مغناطیسی و معادلهٔ شرودینگر (با حل)
مسئله ۱: الکترون در میدان مغناطیسی یکنواخت
یک الکترون در میدان مغناطیسی یکنواخت در راستای محور z قرار دارد:
B = (0 , 0 , B)
پتانسیل برداری را در پیمانه متقارن به صورت زیر در نظر بگیرید:
A = ( -By/2 , Bx/2 , 0 )
هامیلتونی سیستم را بنویسید.
حل
هامیلتونی ذره باردار در میدان الکترومغناطیسی:
H = (1 / 2m)( -iħ∇ − eA )²
با جایگذاری مؤلفه‌های A:
H = (1 / 2m)[ (px + eBy/2)² + (py − eBx/2)² + pz² ]
این هامیلتونی حرکت الکترون در میدان مغناطیسی یکنواخت را توصیف می‌کند و منجر به ترازهای انرژی لانداو می‌شود.
مسئله ۲: محاسبه میدان مغناطیسی از پتانسیل برداری
اگر پتانسیل برداری به صورت زیر باشد:
A = (0 , Bx , 0)
میدان مغناطیسی را پیدا کنید.
حل
میدان مغناطیسی از رابطه زیر به دست می‌آید:
B = ∇ × A
مولفه z:
Bz = ∂Ay/∂x − ∂Ax/∂y
Bz = ∂(Bx)/∂x = B
پس میدان مغناطیسی برابر است با:
B = (0 , 0 , B)
مسئله ۳: حرکت آزاد الکترون در میدان مغناطیسی
فرض کنید یک الکترون فقط تحت تأثیر میدان مغناطیسی یکنواخت قرار دارد. معادله شرودینگر به صورت زیر است:
iħ ∂ψ/∂t = (1 / 2m)( -iħ∇ − eA )² ψ
نشان دهید که حرکت در راستای z آزاد است.
حل
در هامیلتونی داریم:
H = (1 / 2m)[ (px + eBy/2)² + (py − eBx/2)² + pz² ]
می‌بینیم که جمله مربوط به محور z به صورت جداگانه ظاهر می‌شود:
pz² / 2m
بنابراین انرژی در راستای z مانند یک ذره آزاد است:
Ez = pz² / 2m
مسئله ۴: تبدیل پیمانه‌ای
نشان دهید تبدیل زیر میدان مغناطیسی را تغییر نمی‌دهد:
A → A + ∇χ
حل
میدان مغناطیسی:
B = ∇ × A
پس بعد از تبدیل:
B' = ∇ × (A + ∇χ)
B' = ∇ × A + ∇ × (∇χ)
اما می‌دانیم:
∇ × (∇χ) = 0
پس:
B' = B
بنابراین میدان مغناطیسی تحت تبدیل پیمانه‌ای تغییر نمی‌کند.
مسئله ۵: ترازهای انرژی لانداو
برای یک الکترون در میدان مغناطیسی یکنواخت، انرژی‌های مجاز به صورت زیر هستند:
En = ħωc( n + 1/2 )
که در آن:
ωc = eB / m
فرکانس سیکلوترون است.
بنابراین میدان مغناطیسی باعث کوانتیده شدن انرژی حرکت الکترون در صفحه عمود بر میدان می‌شود.
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.