:::writing
چند مسئله دربارهٔ معادلهٔ شرودینگر در میدان الکترومغناطیسی
مسئله ۱
معادلهٔ شرودینگر برای یک ذرهٔ با بار e در حضور پتانسیلهای الکترومغناطیسی φ و A به صورت زیر است:
iħ ∂ψ/∂t = [ (1 / 2m)( -iħ∇ − eA )² + eφ ] ψ
نشان دهید که اگر میدان مغناطیسی صفر باشد و تنها پتانسیل اسکالر وجود داشته باشد، این معادله به شکل معمول معادله شرودینگر در یک پتانسیل V تبدیل میشود.
مسئله ۲
برای یک الکترون در میدان مغناطیسی یکنواخت در راستای محور z،
پتانسیل برداری را به صورت زیر در نظر بگیرید:
A = ( -By/2 , Bx/2 , 0 )
الف) نشان دهید که این پتانسیل برداری میدان مغناطیسی زیر را تولید میکند:
B = (0 , 0 , B)
ب) هامیلتونی سیستم را بنویسید.
مسئله ۳
فرض کنید یک الکترون در ناحیهای حرکت میکند که در آن پتانسیل برداری A وجود دارد اما میدان مغناطیسی صفر است.
الف) نشان دهید که با یک تبدیل پیمانهای مناسب میتوان پتانسیل برداری را تغییر داد بدون آنکه میدان مغناطیسی تغییر کند.
ب) بررسی کنید که تابع موج چگونه تحت تبدیل پیمانهای تغییر میکند.
مسئله ۴
در حضور میدان الکترومغناطیسی، عملگر تکانه به صورت زیر تغییر میکند:
p → -iħ∇ − eA
نشان دهید که انرژی جنبشی ذره به صورت زیر نوشته میشود:
(1 / 2m)( -iħ∇ − eA )²
و جملههای حاصل از بسط این عبارت را به طور کامل محاسبه کنید.
مسئله ۵
نشان دهید که معادله شرودینگر در حضور میدان الکترومغناطیسی تحت تبدیل پیمانهای زیر ناوردا است:
A → A + ∇χ
φ → φ − ∂χ/∂t
به شرط آنکه تابع موج نیز به صورت زیر تغییر کند:
ψ → exp( ieχ / ħ ) ψ
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.