:::writing
معادلهٔ شرودینگر برای یک الکترون در برهم‌کنش با میدان الکترومغناطیسی
برای توصیف حرکت یک الکترون در حضور میدان الکترومغناطیسی، از معادلهٔ شرودینگر استفاده می‌شود. در این حالت اثر میدان الکترومغناطیسی از طریق پتانسیل اسکالر و پتانسیل برداری وارد معادله می‌شود.
پتانسیل‌های الکترومغناطیسی
میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی را می‌توان با استفاده از پتانسیل اسکالر φ و پتانسیل برداری A نوشت:
E = -∇φ - ∂A/∂t
B = ∇ × A
در اینجا φ پتانسیل اسکالر و A پتانسیل برداری میدان الکترومغناطیسی هستند.
جایگذاری در معادله شرودینگر
برای وارد کردن اثر میدان الکترومغناطیسی در مکانیک کوانتومی از قاعدهٔ جایگزینی کمینه استفاده می‌شود. در این روش تکانه به صورت زیر تغییر می‌کند:
p → p − eA
در نتیجه عملگر تکانه که در مکانیک کوانتومی برابر است با
p = -iħ∇
به شکل زیر در می‌آید:
p → -iħ∇ − eA
معادله شرودینگر در میدان الکترومغناطیسی
با اعمال این جایگذاری، معادله شرودینگر وابسته به زمان برای یک الکترون به صورت زیر نوشته می‌شود:
iħ ∂ψ/∂t = [ (1 / 2m) ( -iħ∇ − eA )² + eφ ] ψ
در این رابطه:
- ψ تابع موج الکترون است.
- m جرم الکترون است.
- e بار الکترون است.
- A پتانسیل برداری میدان الکترومغناطیسی است.
- φ پتانسیل اسکالر است.
- ħ ثابت پلانک کاهش‌یافته است.
اهمیت فیزیکی
این معادله نشان می‌دهد که میدان الکترومغناطیسی نه تنها از طریق میدان‌های E و B بلکه از طریق پتانسیل‌های φ و A بر سیستم کوانتومی اثر می‌گذارد. این موضوع در پدیده‌هایی مانند اثر آهارونوف–بوم اهمیت اساسی دارد.
معادله فوق پایهٔ بسیاری از مسائل در فیزیک کوانتومی، اپتیک کوانتومی و فیزیک ماده چگال است.
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.