ریاضیات

ساختار دقیق سری‌های تک‌تایی و سه‌تایی هلیوم

در اتم هلیوم، آرایش الکترونی حالت پایه به صورت 1s² است. در این حالت به دلیل اصل طرد پائولی، دو الکترون باید اسپین‌های مخالف داشته باشند (حالت تک‌تایی یا Singlet). اما برای حالت‌های برانگیخته (که یک الکترون در تراز 1s و دیگری در تراز nl قرار دارد)، سیستم به دو سری کاملاً مجزا تقسیم می‌شود:

۱. نمادهای ترم طیفی (Term Symbols)

ترازهای انرژی هلیوم را با نماد عمومی زیر نمایش می‌دهیم:

²ˢ⁺¹L_J

• S: اسپین کل سیستم (برای Singlet برابر ۰ و برای Triplet برابر ۱)
• 2S+1: چندگانگی (Multiplicity) که برای Singlet برابر ۱ و برای Triplet برابر ۳ است.
• L: تکانه زاویه‌ای مداری کل (S, P, D, ...)
• J: تکانه زاویه‌ای کل (J = L + S)

۲. ترازهای سری تک‌تایی (Parahelium Series)

در این سری، اسپین کل S=0 است. در نتیجه J دقیقاً برابر با L می‌شود. برخی از ترازهای مهم این سری عبارتند از:

• حالت پایه: 1s² ¹S₀
• حالت‌های برانگیخته S: 1s2s ¹S₀ , 1s3s ¹S₀
• حالت‌های برانگیخته P: 1s2p ¹P₁ , 1s3p ¹P₁
• حالت‌های برانگیخته D: 1s3d ¹D₂

۳. ترازهای سری سه‌تایی (Orthohelium Series)

در این سری، اسپین کل S=1 است. به دلیل جفت‌شدگی اسپین-مدار (Spin-Orbit Coupling)، هر تراز L (به جز حالت‌های S) به سه زیرتراز با Jهای متفاوت شکافته می‌شود (ساختار ظریف یا Fine Structure):

• حالت‌های S (L=0): فقط یک تراز دارند زیرا J=1 است: 1s2s ³S₁
• حالت‌های P (L=1): به سه تراز با J=0, 1, 2 شکافته می‌شوند: ³P₀ , ³P₁ , ³P₂
• حالت‌های D (L=2): به سه تراز با J=1, 2, 3 شکافته می‌شوند: ³D₁ , ³D₂ , ³D₃

۴. مقایسه ترازهای هم‌نام (کاهش انرژی در حالت Triplet)

به دلیل پادمتقارن بودن تابع موج فضایی در حالت Triplet و کاهش دافعه کولنی، ترازهای سه‌تایی همواره انرژی کمتری نسبت به ترازهای تک‌تایی متناظر خود دارند:

E(1s2s ³S₁) < E(1s2s ¹S₀)
E(1s2p ³P) < E(1s2p ¹P)

۵. قوانین انتخاب و گذارهای مجاز (Selection Rules)

فوتون‌های تابش کلاسی و الکترومغناطیسی نمی‌توانند اسپین سیستم را تغییر دهند. بنابراین قوانین انتخاب برای گذارهای مجاز نوری عبارتند از:

ΔS = 0 (عدم تغییر اسپین کل)
ΔL = ±1 (تغییر تکانه زاویه‌ای مداری)
ΔJ = 0, ±1 (به جز گذار J=0 به J=0)

بررسی این سری‌ها اساس طراحی بسیاری از لیزرها (مانند لیزر هلیوم-نئون) است که در آن‌ها از حالت‌های شبه‌پایدار هلیوم برای ایجاد دمیدگی جمعیت استفاده می‌شود.