ریاضیات

دو الکترون در نوسانگر هماهنگ با اسپین یکسان

در یک نوسانگر هماهنگ یک‌بعدی، اگر دو الکترون دارای اسپین یکسان باشند، بخش فضایی تابع موج باید پادمتقارن باشد. به همین دلیل، دو الکترون نمی‌توانند همزمان در پایین‌ترین لایه (n=0) قرار بگیرند.

توابع موج تک‌ذره نوسانگر هماهنگ

توابع موج برای تراز اول و دوم به شرح زیر است (با فرض ثابت α = √(mω/ħ)):

ψ0(x) = (α / √π)^(1/2) * exp(-α²x²/2)
 
ψ1(x) = (α / (2√π))^(1/2) * (2αx) * exp(-α²x²/2)

حالت پایه سیستم (با اسپین یکسان)

کم‌انرژی‌ترین حالت زمانی رخ می‌دهد که:

n1 = 0
n2 = 1

تابع موج فضایی پادمتقارن

با استفاده از دترمینان اسلیتر، تابع موج فضایی برابر است با:

Ψ(x1, x2) = (1/√2) [ ψ0(x1)ψ1(x2) - ψ1(x1)ψ0(x2) ]

فرمول نهایی تابع موج

پس از ساده‌سازی و فاکتورگیری از بخش نمایی:

Ψ(x1, x2) = (α²/√π) * (x2 - x1) * exp[-α²(x1² + x2²)/2]

انرژی حالت پایه

انرژی کل سیستم از مجموع انرژی‌های هر تراز به دست می‌آید:

E0 = (1/2) ħω
E1 = (3/2) ħω
 
E_total = E0 + E1 = 2 ħω

نتیجه: در این حالت، به دلیل جفت شدن اسپین‌ها، ذرات از هم دور می‌شوند (ترم x2 - x1 در تابع موج) که نشان‌دهنده «حفره فرمی» بین دو الکترون است.