ریاضیات

دو الکترون در چاه پتانسیل نامتناهی با اسپین یکسان

در چاه پتانسیل نامتناهی یک‌بعدی اگر دو الکترون دارای حالت اسپینی یکسان باشند،

باید اصل طرد پائولی رعایت شود. از آنجا که الکترون‌ها فرمیون هستند،

تابع موج کل باید نسبت به جابجایی ذرات پادمتقارن باشد.

تابع موج تک‌ذره در چاه نامتناهی

ψ_n(x) = √(2/L) sin(nπx / L)

سطوح انرژی

E_n = (n² π² ħ²) / (2 m L²)

حالت اسپینی

فرض می‌کنیم هر دو الکترون اسپین یکسان دارند:

χ(1,2) = ↑(1) ↑(2)

این تابع اسپینی متقارن است، بنابراین تابع موج فضایی باید پادمتقارن باشد.

حالت پایه مجاز

به دلیل اصل پائولی دو الکترون نمی‌توانند هر دو در حالت n=1 باشند،

بنابراین کم‌انرژی‌ترین حالت مجاز:

n1 = 1
n2 = 2

تابع موج فضایی پادمتقارن

Ψ(x1,x2) =
(1/√2) [ ψ1(x1)ψ2(x2) − ψ2(x1)ψ1(x2) ]

جایگذاری توابع موج

ψ1(x) = √(2/L) sin(πx/L)
 
ψ2(x) = √(2/L) sin(2πx/L)

تابع موج کامل

Ψ(x1,x2) =
(2/(L√2)) [
sin(πx1/L) sin(2πx2/L)
−
sin(2πx1/L) sin(πx2/L)
]

انرژی حالت پایه

E = E1 + E2
 
E = (π²ħ² / 2mL²)(1² + 2²)
 
E = (5π²ħ²) / (2mL²)

بنابراین برای دو الکترون با اسپین یکسان، تابع موج فضایی باید پادمتقارن باشد

و کم‌انرژی‌ترین حالت شامل ترازهای n=1 و n=2 خواهد بود.