گسترش الگوریتم برای سه الکترون در چاه پتانسیل
سه الکترون فرمیون هستند، بنابراین تابع موج کل باید نسبت به
جابجایی هر دو ذره پادمتقارن باشد.
گام 1: حل مسئله تک‌ذره‌ای
ابتدا معادله شرودینگر برای یک الکترون در چاه پتانسیل حل می‌شود
و توابع موج و انرژی‌ها به دست می‌آیند:
ψ1(x), ψ2(x), ψ3(x), ...
E1, E2, E3, ...
گام 2: پر کردن ترازهای انرژی (اصل طرد پائولی)
در هر تراز فضایی حداکثر دو الکترون با اسپین مخالف می‌توانند قرار بگیرند.
Electron 1 → n = 1 (spin ↑)
Electron 2 → n = 1 (spin ↓)
Electron 3 → n = 2
بنابراین انرژی کل حالت پایه:
E_total = E1 + E1 + E2
گام 3: ساخت تابع موج فضایی
برای سه فرمیون باید تابع موج فضایی را به صورت دترمینان اسلیتر نوشت:
Ψ_space(x1,x2,x3) = (1/√6) |
ψ1(x1) ψ1(x2) ψ1(x3)
ψ2(x1) ψ2(x2) ψ2(x3)
ψ3(x1) ψ3(x2) ψ3(x3)
|
این فرم تضمین می‌کند که تابع موج نسبت به جابجایی هر دو ذره پادمتقارن باشد.
گام 4: در نظر گرفتن اسپین
دو الکترون اول در تراز اول با اسپین مخالف قرار می‌گیرند:
↑ , ↓
الکترون سوم در تراز دوم می‌تواند یکی از دو اسپین را داشته باشد:
↑ or ↓
گام 5: تابع موج کل
تابع موج کل برابر است با حاصل ضرب بخش فضایی و اسپینی:
Ψ_total = Ψ_space(x1,x2,x3) × Ψ_spin
الگوریتم کلی برای سه الکترون
- پتانسیل چاه را تعریف کن.
- معادله شرودینگر تک‌ذره‌ای را حل کن.
- توابع موج ψn و انرژی‌های En را به دست آور.
- ترازهای انرژی را طبق اصل طرد پائولی پر کن.
- تابع موج فضایی را با دترمینان اسلیتر بساز.
- حالات اسپینی مجاز را تعیین کن.
- تابع موج کل را از ضرب بخش فضایی و اسپینی بنویس.
- انرژی کل سیستم را محاسبه کن.
جمع‌بندی
- در حالت پایه: دو الکترون در تراز n=1 و یکی در n=2 قرار می‌گیرد.
- تابع موج باید نسبت به تبادل هر دو الکترون پادمتقارن باشد.
- برای سه فرمیون از دترمینان اسلیتر استفاده می‌شود.
- انرژی کل سیستم: E1 + E1 + E2
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.