ریاضیات

جرم کاهیده سیستم الکترون – پروتون و مقایسه با الکترون آزاد

جرم کاهیده (Reduced Mass) برای دو ذره با جرم‌های

m₁

و

m₂

به صورت زیر تعریف می‌شود:

μ = (m₁ m₂) / (m₁ + m₂)

۱) جرم کاهیده الکترون – پروتون (بدون تقریب)

برای سیستم هیدروژن داریم:

m_e = 9.1093837015 × 10^-31 kg

m_p = 1.67262192369 × 10^-27 kg

جایگذاری مستقیم در فرمول:

μ_ep =

(m_e m_p) /

(m_e + m_p)

μ_ep =

(9.1093837015 × 10^-31 × 1.67262192369 × 10^-27)

/

(9.1093837015 × 10^-31 + 1.67262192369 × 10^-27)

μ_ep = 9.104425276 × 10^-31 kg

۲) جرم کاهیده در حالت «الکترون آزاد»

اگر ذره دوم جرم بسیار بزرگ (M → ∞) داشته باشد،

طبق تعریف جرم کاهیده داریم:

μ = (m_e M) / (m_e + M)

lim (M → ∞) μ = m_e

بنابراین برای الکترون آزاد:

μ = m_e = 9.1093837015 × 10^-31 kg

۳) مقایسه نتایج

μ_ep = 9.104425276 × 10^-31 kg

m_e = 9.1093837015 × 10^-31 kg

اختلاف دو مقدار:

Δ = m_e − μ_ep

Δ = 4.9584255 × 10^-34 kg

اختلاف نسبی:

Δ / m_e = 5.44 × 10^-4

Δ / m_e = 0.054 %

نتیجه نهایی

جرم کاهیده سیستم الکترون–پروتون کمی کوچک‌تر از جرم الکترون آزاد است.

اختلاف آن‌ها تنها حدود 0.054 درصد است.

به همین دلیل در بسیاری از محاسبات مقدماتی اتم هیدروژن،

جرم الکترون به جای جرم کاهیده استفاده می‌شود،

اما در محاسبات دقیق طیفی باید از جرم کاهیده استفاده کرد.